趣题：奇怪的有向图 任两点间两步之内可达的路径有且仅有一条

    有这么一个无自环的有向图，它的顶点数在30和40之间（包括30和40）。对于图里面的任意两个点A和B，要么存在一条有向边A->B，要么存在唯一的一个“中间点”C使得A可以通过A->C->B两步走到B。换句话说，对任意给定的A、B两点，从A到B的长度不超过2的路径有且仅有一条。注意，即使当A=B时，这个条件也是成立的。试问这个图有多少个顶点。

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    这道题有趣就有趣在，我们的突破口居然是考察A、B两点间长度为2或3的路径数。假设A有p个后继节点（即从A出发的边有p条），B有q个前驱节点（即有q条边指向B），那么从A到B的路径中长度为2或3的一共有多少条？你可能会说：当然有p条咯！因为A有p个后继节点，而每个后继节点两步之内走到B恰有一种方法。但为什么不说答案是q呢？有q个点可以直达B，而点A在两步之内到这q个点的路径都是唯一的，这就说明从A到B长为2或3的路径数目为q。这告诉我们，p和q是相等的，即A的出度和B的入度相等。再找一个点C，则我们立即可知C的出度也等于B的入度，于是A和C的出度相等。你会立刻发现：搞了半天，这个图的所有点的出度和所有点的入度全部相等。假设这个数字为k，即每个点的前驱和后继都有k个。从某个点A出发，走一步可以到达k个点，再走一步就可以到达k*k个点，这k+k*k个点恰好就是所有点的个数，既无重复也无遗漏。由于30 <= k+k*k <= 40，我们得到k=5，这个图的顶点数为30。
    且慢！我们还没说明满足条件的图真的存在呢！事实上，考虑这样30个点{V_ij|1<=i<=6, 1<=j<=6, i≠j}，从V_ij到V_kl有边当且仅当j=k。这个图显然满足我们的题目条件。

来源：http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/challenges/October1999.html
最近打算把IBM Ponder This的老题翻一下