数据结构与算法-进阶（四）图的分类续

摘要

在上期介绍完无向图和有向图之后，延伸出完全图、有权图以及连通图。主要根据边直接连接，还是间接连接，有方向，还是没有方向来区分。其中的有权图在实际生活中可以找到很多对应的场景。

上期文章介绍了图的概念，有向图、无向图、简单图和复杂图这几个分类。本期要继续深入地介绍图的几个分类。

无向完全图

无向图的任意两个顶点之间都存在边时，称为无向完全图。在无向完全图中，顶点和边的关系为：n 个顶点有 n(n-1)/2 条边。

如下图所示，边可以用顶点表示的公式：1 + 2 + 3 + … + (n-3) + (n-2) + (n-1)

有向完全图

有向图的任意两个顶点之间都存在方向相反的两条边，称为有向完全图。结合无向完全图的定义，有向完全图比无向完全图多一倍的边，所以顶点和边的关系为：n 个顶点有 n(n-1) 条边。

以完全图为标准，可以分类出稠密图和稀疏图：

稠密图：边数接近于或等于完全图

稀疏图：边数远远少于完全图

有权图

当边上存在权值的图就是有权图。有权图在很多场景中被应用，比如导航找出时间最少的路线，找到最少交高速费的路线，几个村之间修路，根据人口等设计连接等。

要特别注意，有权图中的边可以是有方向的、也可以是没有方向的，也可以是既有方向，也可以是没有方向的，如下图所示：

连通图

在一个图中，假如顶点 x 和 y 之间存在可相互抵达的路径（直接或者间接的），则认为 x 和 y 是连通的。

那么，如果在无向图中，任意2个顶点都是连通的，就称为该图为连通图。如下图所示，都是连通图：

在连通图中，也要介绍一下连通分量，连通分量就是无向图中最大的连通子图。在连通图中，它只有一个连通分量，就是它本身，如果是非连通的无向图，就会存在多个连通分量。

强连通图

连通图是基于无向图的定义，即连通图的边是无向的，当把无向的边更换为有向的，就是强连通图。

所以，强连通图就是有向图中的任意两个顶点都是连通的，如下图所示：

在强连通图中，也有强连通分量，强连通分量就是有向图中最大的强连通子图。在强连通图中只有一个强连通分量，就是自身。如果是非连通的有向图，就会存在多个强连通分量。

总结

• 当任意顶点之间都有边（直接连接）存在的图，就是完全图，分为无向完全图和有向完全图；
• 当边存在权值的图，就是有权图，有权图的实际应用场景非常多；
• 当任意两个顶点都可以连接（直接或者间接），就是连通图；
• 根据边是否有方向，判断出连通图和强连通图，并对应的有连通分量。