时频转换 | Matlab离散韦格纳分布Discrete Wigner-Ville Distribution一维数据转二维图像方法

 ✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎 往期回顾关注个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知,完整Matlab代码及仿真咨询内容私信。

🔥 内容介绍

在信号处理领域，时频分析是一种极其重要的工具，它可以同时显示信号在时间和频率上的信息，从而揭示信号的动态变化特性。Wigner-Ville分布（WVD）作为一种二次型的时频表示方法，因其具有较高的时频分辨率而被广泛应用于各种领域，例如语音识别、雷达信号处理、振动诊断等。然而，对于离散信号，直接计算WVD会导致交叉项问题，影响时频表示的清晰度。因此，离散Wigner-Ville分布（DWVD）应运而生，并发展出各种有效的实现方法。本文将深入探讨DWVD，并重点介绍如何利用DWVD将一维离散数据转化为二维图像，从而实现更直观和有效的信号分析。

1. 离散Wigner-Ville分布 (DWVD) 的基本原理

Wigner-Ville分布的核心思想是将信号的自相关函数进行傅里叶变换，从而获得信号的时频能量分布。 对于连续信号x(t)，其WVD定义如下：

W_x(t, f) = ∫ x(t + τ/2) * x*(t - τ/2) * e^(-j2πfτ) dτ 

其中，x*(t)表示x(t)的共轭复数，τ表示延迟时间，f表示频率。

对于离散信号x[n]，DWVD的定义则需要进行离散化处理。一种常见的DWVD定义如下：

W_x[n, m] = 2 * Σ h[k] * x[n + k] * x*[n - k] * e^(-j4πmk/N) 

其中，n表示时间索引，m表示频率索引，N表示信号的长度，h[k]是可选的窗函数，用于平滑DWVD并抑制交叉项。

2. DWVD的计算及其优化

直接按照上述公式计算DWVD的复杂度较高，尤其是在处理长序列信号时。因此，许多高效的计算方法被提出，例如快速傅里叶变换（FFT）法。FFT法可以显著降低计算复杂度，使得DWVD的应用更加广泛。

此外，交叉项是DWVD的主要问题之一。交叉项的产生是由于DWVD是二次型表示，不同信号分量之间相互干扰造成的。为了抑制交叉项，常用的方法包括使用窗函数进行平滑、采用伪Wigner-Ville分布（PWVD）、使用Choi-Williams分布等。

• 窗函数平滑： 通过对自相关函数加窗，可以有效地减少交叉项的影响，但也会牺牲一定的时频分辨率。选择合适的窗函数长度和形状是关键。常用的窗函数包括Hamming窗、Hanning窗、Blackman窗等。

• 伪Wigner-Ville分布 (PWVD): PWVD是对WVD在时间和频率上分别进行平滑处理的结果，可以更好地抑制交叉项。PWVD的定义如下：

  PW_x[n, m] = Σ h[k] * g[l] * W_x[n-l, m-k]

  其中，h[k]和g[l]分别是时间和频率上的窗函数。

• Choi-Williams分布： Choi-Williams分布是一种基于指数核函数的时频分布，能够更好地平衡时频分辨率和交叉项抑制。

3. 一维数据到二维图像的转换：DWVD的应用

将一维离散数据转换为二维图像是DWVD的一个重要应用。通过计算信号的DWVD，我们可以得到一个以时间和频率为坐标轴的二维能量分布图，即时频图像。这种图像可以直观地显示信号在不同时间和频率上的能量分布情况，从而帮助我们理解信号的结构和动态变化。

具体的转换步骤如下：

1. 信号预处理： 对一维离散信号进行预处理，例如去除噪声、归一化等，以提高DWVD的计算精度和时频图像的质量。

2. 参数设置： 选择合适的DWVD计算参数，例如FFT长度、窗函数类型和长度等。这些参数会影响时频分辨率和交叉项抑制效果，需要根据具体应用进行调整。

3. DWVD计算： 根据选择的DWVD计算方法，计算信号的DWVD。通常可以使用FFT法提高计算效率。

4. 图像生成： 将计算得到的DWVD结果作为二维图像的像素值，生成时频图像。可以使用不同的颜色映射方案将能量值映射到不同的颜色，以便更清晰地显示时频分布。例如，可以使用灰度图像，其中灰度值表示能量的大小；也可以使用彩色图像，其中不同的颜色表示不同的能量级别。

5. 图像后处理： 对生成的时频图像进行后处理，例如增强对比度、平滑噪声等，以提高图像的可视化效果。

4. DWVD时频图像的应用实例

DWVD时频图像在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个典型的例子：

• 语音信号分析： 语音信号是一种非平稳信号，其频率成分随时间变化。DWVD时频图像可以清晰地显示语音信号的音调、共振峰等特征，帮助我们进行语音识别、语音编码等。通过观察DWVD时频图像，可以区分不同的语音单元，例如元音、辅音等。

• 机械振动诊断： 机械设备的振动信号通常包含丰富的故障信息。DWVD时频图像可以揭示振动信号的频率成分和时变特性，从而帮助我们诊断机械设备的故障类型和程度。例如，轴承故障通常会导致特定的频率成分出现，并且这些频率成分会随着时间的推移而发生变化。

• 雷达信号处理： 雷达信号的时频特性包含目标的速度、距离等信息。DWVD时频图像可以有效地提取雷达信号的时频特征，从而帮助我们进行目标检测、目标跟踪等。例如，通过观察雷达信号的DWVD时频图像，可以估计目标的多普勒频移，从而计算目标的速度。

• 生物医学信号分析： 生物医学信号，例如脑电信号（EEG）、心电信号（ECG），也常常是非平稳信号。DWVD时频图像可以揭示这些信号的频率成分和时变特性，从而帮助我们诊断神经系统疾病、心脏疾病等。

5. 结论与展望

离散Wigner-Ville分布是一种强大的时频分析工具，可以将一维离散数据转化为二维图像，从而提供直观和有效的信号分析方法。通过抑制交叉项、优化计算方法以及选择合适的参数，我们可以获得高质量的DWVD时频图像，并将其应用于各种领域。

随着信号处理技术的不断发展，未来DWVD的研究方向包括：

• 更高分辨率的时频分析方法： 研究能够克服传统DWVD局限性的新型时频分析方法，例如基于稀疏表示的时频分析、基于深度学习的时频分析等，以获得更高的时频分辨率和更好的噪声抑制效果。

• 自适应参数选择： 开发能够根据信号特性自动选择DWVD参数的方法，例如自动选择窗函数类型和长度、自动选择交叉项抑制方法等，以提高DWVD的应用效率和鲁棒性。

• 多维信号的时频分析： 将DWVD推广到多维信号的处理，例如图像的时频分析、视频的时频分析等，以解决更复杂的问题。

• 实时DWVD计算： 研究能够实现实时DWVD计算的硬件和软件平台，以便将DWVD应用于实时信号处理系统。

总之，离散Wigner-Ville分布作为一种经典的时频分析方法，在信号处理领域具有重要的地位。通过不断地研究和改进，DWVD将在未来发挥更加重要的作用，为各个领域的信号处理应用带来更多的可能性。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 曾宇清,王卫东.车辆激励谱的时频转换复现技术[J].中国铁道科学, 1996, 17(4):7.DOI:CNKI:SUN:ZGTK.0.1996-04-003.

[2] 高刚,桂志先,贺振华,等.时频连续小波变换检测含气储层及其在苏里格气田的应用[J].石油天然气学报, 2012, 34(1):5.DOI:10.3969/j.issn.1000-9752.2012.01.013.

📣 部分代码

🎈 部分理论引用网络文献，若有侵权联系博主删除

👇 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料

🏆团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真，助力科研梦：

🌈 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位

🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌈 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

🌈 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

🌈 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌈 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优

 ✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎 往期回顾关注个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知,完整Matlab代码及仿真咨询内容私信。

🔥 内容介绍

在信号处理领域，时频分析是一种极其重要的工具，它可以同时显示信号在时间和频率上的信息，从而揭示信号的动态变化特性。Wigner-Ville分布（WVD）作为一种二次型的时频表示方法，因其具有较高的时频分辨率而被广泛应用于各种领域，例如语音识别、雷达信号处理、振动诊断等。然而，对于离散信号，直接计算WVD会导致交叉项问题，影响时频表示的清晰度。因此，离散Wigner-Ville分布（DWVD）应运而生，并发展出各种有效的实现方法。本文将深入探讨DWVD，并重点介绍如何利用DWVD将一维离散数据转化为二维图像，从而实现更直观和有效的信号分析。

1. 离散Wigner-Ville分布 (DWVD) 的基本原理

Wigner-Ville分布的核心思想是将信号的自相关函数进行傅里叶变换，从而获得信号的时频能量分布。 对于连续信号x(t)，其WVD定义如下：

W_x(t, f) = ∫ x(t + τ/2) * x*(t - τ/2) * e^(-j2πfτ) dτ 

其中，x*(t)表示x(t)的共轭复数，τ表示延迟时间，f表示频率。

对于离散信号x[n]，DWVD的定义则需要进行离散化处理。一种常见的DWVD定义如下：

W_x[n, m] = 2 * Σ h[k] * x[n + k] * x*[n - k] * e^(-j4πmk/N) 

其中，n表示时间索引，m表示频率索引，N表示信号的长度，h[k]是可选的窗函数，用于平滑DWVD并抑制交叉项。

2. DWVD的计算及其优化

直接按照上述公式计算DWVD的复杂度较高，尤其是在处理长序列信号时。因此，许多高效的计算方法被提出，例如快速傅里叶变换（FFT）法。FFT法可以显著降低计算复杂度，使得DWVD的应用更加广泛。

此外，交叉项是DWVD的主要问题之一。交叉项的产生是由于DWVD是二次型表示，不同信号分量之间相互干扰造成的。为了抑制交叉项，常用的方法包括使用窗函数进行平滑、采用伪Wigner-Ville分布（PWVD）、使用Choi-Williams分布等。

• 窗函数平滑： 通过对自相关函数加窗，可以有效地减少交叉项的影响，但也会牺牲一定的时频分辨率。选择合适的窗函数长度和形状是关键。常用的窗函数包括Hamming窗、Hanning窗、Blackman窗等。

• 伪Wigner-Ville分布 (PWVD): PWVD是对WVD在时间和频率上分别进行平滑处理的结果，可以更好地抑制交叉项。PWVD的定义如下：

  PW_x[n, m] = Σ h[k] * g[l] * W_x[n-l, m-k]

  其中，h[k]和g[l]分别是时间和频率上的窗函数。

• Choi-Williams分布： Choi-Williams分布是一种基于指数核函数的时频分布，能够更好地平衡时频分辨率和交叉项抑制。

3. 一维数据到二维图像的转换：DWVD的应用

将一维离散数据转换为二维图像是DWVD的一个重要应用。通过计算信号的DWVD，我们可以得到一个以时间和频率为坐标轴的二维能量分布图，即时频图像。这种图像可以直观地显示信号在不同时间和频率上的能量分布情况，从而帮助我们理解信号的结构和动态变化。

具体的转换步骤如下：

1. 信号预处理： 对一维离散信号进行预处理，例如去除噪声、归一化等，以提高DWVD的计算精度和时频图像的质量。

2. 参数设置： 选择合适的DWVD计算参数，例如FFT长度、窗函数类型和长度等。这些参数会影响时频分辨率和交叉项抑制效果，需要根据具体应用进行调整。

3. DWVD计算： 根据选择的DWVD计算方法，计算信号的DWVD。通常可以使用FFT法提高计算效率。

4. 图像生成： 将计算得到的DWVD结果作为二维图像的像素值，生成时频图像。可以使用不同的颜色映射方案将能量值映射到不同的颜色，以便更清晰地显示时频分布。例如，可以使用灰度图像，其中灰度值表示能量的大小；也可以使用彩色图像，其中不同的颜色表示不同的能量级别。

5. 图像后处理： 对生成的时频图像进行后处理，例如增强对比度、平滑噪声等，以提高图像的可视化效果。

4. DWVD时频图像的应用实例

DWVD时频图像在许多领域都有广泛的应用，以下列举几个典型的例子：

• 语音信号分析： 语音信号是一种非平稳信号，其频率成分随时间变化。DWVD时频图像可以清晰地显示语音信号的音调、共振峰等特征，帮助我们进行语音识别、语音编码等。通过观察DWVD时频图像，可以区分不同的语音单元，例如元音、辅音等。

• 机械振动诊断： 机械设备的振动信号通常包含丰富的故障信息。DWVD时频图像可以揭示振动信号的频率成分和时变特性，从而帮助我们诊断机械设备的故障类型和程度。例如，轴承故障通常会导致特定的频率成分出现，并且这些频率成分会随着时间的推移而发生变化。

• 雷达信号处理： 雷达信号的时频特性包含目标的速度、距离等信息。DWVD时频图像可以有效地提取雷达信号的时频特征，从而帮助我们进行目标检测、目标跟踪等。例如，通过观察雷达信号的DWVD时频图像，可以估计目标的多普勒频移，从而计算目标的速度。

• 生物医学信号分析： 生物医学信号，例如脑电信号（EEG）、心电信号（ECG），也常常是非平稳信号。DWVD时频图像可以揭示这些信号的频率成分和时变特性，从而帮助我们诊断神经系统疾病、心脏疾病等。

5. 结论与展望

离散Wigner-Ville分布是一种强大的时频分析工具，可以将一维离散数据转化为二维图像，从而提供直观和有效的信号分析方法。通过抑制交叉项、优化计算方法以及选择合适的参数，我们可以获得高质量的DWVD时频图像，并将其应用于各种领域。

随着信号处理技术的不断发展，未来DWVD的研究方向包括：

• 更高分辨率的时频分析方法： 研究能够克服传统DWVD局限性的新型时频分析方法，例如基于稀疏表示的时频分析、基于深度学习的时频分析等，以获得更高的时频分辨率和更好的噪声抑制效果。

• 自适应参数选择： 开发能够根据信号特性自动选择DWVD参数的方法，例如自动选择窗函数类型和长度、自动选择交叉项抑制方法等，以提高DWVD的应用效率和鲁棒性。

• 多维信号的时频分析： 将DWVD推广到多维信号的处理，例如图像的时频分析、视频的时频分析等，以解决更复杂的问题。

• 实时DWVD计算： 研究能够实现实时DWVD计算的硬件和软件平台，以便将DWVD应用于实时信号处理系统。

总之，离散Wigner-Ville分布作为一种经典的时频分析方法，在信号处理领域具有重要的地位。通过不断地研究和改进，DWVD将在未来发挥更加重要的作用，为各个领域的信号处理应用带来更多的可能性。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 曾宇清,王卫东.车辆激励谱的时频转换复现技术[J].中国铁道科学, 1996, 17(4):7.DOI:CNKI:SUN:ZGTK.0.1996-04-003.

[2] 高刚,桂志先,贺振华,等.时频连续小波变换检测含气储层及其在苏里格气田的应用[J].石油天然气学报, 2012, 34(1):5.DOI:10.3969/j.issn.1000-9752.2012.01.013.

📣 部分代码

🎈 部分理论引用网络文献，若有侵权联系博主删除

👇 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料

🏆团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真，助力科研梦：

🌈 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位

🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌈 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

🌈 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

🌈 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌈 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

🌈电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电

🌈 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

🌈 雷达方面

卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别

🌈 车间调度

零等待流水车间调度问题NWFSP 、 置换流水车间调度问题PFSP、 混合流水车间调度问题HFSP 、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

👇

化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

🌈电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电

🌈 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

🌈 雷达方面

卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别

🌈 车间调度

零等待流水车间调度问题NWFSP 、 置换流水车间调度问题PFSP、 混合流水车间调度问题HFSP 、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

👇