【车辆配送】基于模拟退火SA求解车辆配送VPR附Matlab代码-优快云博客

✅作者简介：热爱科研的Matlab仿真开发者，擅长数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。

🍎个人主页：Matlab科研工作室

🍊个人信条：格物致知。

🔥 内容介绍

车辆路径问题（VRP）作为一个经典的组合优化问题，在物流、运输、供应链管理等领域有着广泛的应用。它旨在寻找一组最优的车辆行驶路线，以满足客户的需求，并最小化总成本，如运输距离、车辆使用数量等。由于VRP问题的复杂性，精确算法往往难以在合理的时间内解决大规模问题，因此，许多启发式算法被广泛应用于VRP的求解。本文将探讨如何使用模拟退火算法（SA）解决车辆路径问题。

1. 车辆路径问题（VRP）描述

车辆路径问题是指，给定一个车辆中心（或多个中心），若干个客户点以及每个客户的需求量，如何合理安排车辆从中心出发，经过若干个客户点，最终返回中心，在满足车辆载重限制和客户需求的前提下，使得总的运输成本（通常是行驶距离）最小。VRP问题的具体形式繁多，常见的包括：

CVRP (Capacitated Vehicle Routing Problem): 带容量约束的VRP，是VRP问题中最基本的形式，对车辆的载重量有明确的限制。
VRPTW (Vehicle Routing Problem with Time Windows): 带时间窗的VRP，除了载重限制外，还要求车辆必须在客户指定的时间窗口内到达。
VRP with Pickup and Delivery (VRPPD): 带取货和送货的VRP，车辆不仅要送货，还要从某些客户点取货。
MDVRP (Multi-Depot Vehicle Routing Problem): 多中心VRP，存在多个车辆中心，需要为每个中心分配客户点和车辆。

本文将主要以CVRP为例，讨论模拟退火算法的应用。

2. 模拟退火算法（SA）原理

模拟退火算法是一种基于蒙特卡洛思想的全局优化算法，其灵感来源于固体退火过程。在固体退火过程中，材料从高温状态逐渐冷却，分子间的排列逐渐趋于有序，最终达到能量最低的稳定状态。

SA算法的基本思想是：

初始化：随机生成一个初始解，并设定一个初始温度T (高温)。
迭代：在当前温度下，随机产生一个新解。
接受准则：
- 如果新解优于当前解，则接受新解作为当前解。
- 如果新解劣于当前解，则以一定的概率接受新解，这个概率由Metropolis准则决定：P = exp(-Δf/T)，其中Δf是新解和当前解的能量差（即目标函数值的差），T是当前温度。
降温：降低温度T，通常采用降温系数α (0 < α < 1)，即 T = T * α。
终止条件：当温度T降低到足够低或者达到预设的迭代次数时，算法终止。

Metropolis准则允许算法在一定概率下接受较差的解，从而避免陷入局部最优解，最终搜索到全局最优解。温度越高，接受较差解的概率就越高，算法的搜索范围就越广；温度越低，接受较差解的概率就越低，算法的搜索范围就越窄，趋于局部搜索。

3. 基于SA求解VRP的实现

将SA算法应用于VRP问题，需要解决以下几个关键问题：

解的编码：如何用一种形式表示VRP问题的解。
邻域生成：如何从当前解产生新的解。
目标函数：如何评估解的优劣。

3.1 解的编码

常用的解的编码方式是采用整数序列来表示车辆的行驶路线。例如，假设有5个客户点和一个车辆中心（编号为0），一个解可以表示为：

0 1 2 0 3 4 5 0

这个解表示有3条行驶路线：

0 -> 1 -> 2 -> 0
0 -> 3 -> 4 -> 5 -> 0

其中，0表示车辆中心，其余数字表示客户点的编号。需要注意的是，该编码方式需要确保每条路线的客户需求量之和不超过车辆的载重限制。

3.2 邻域生成

邻域生成是指从当前解出发，通过一定的操作，生成一个新的解。常用的邻域生成操作包括：

Swap (交换)：随机选择两个客户点，交换它们在路线中的位置。例如，将上述解中的客户点1和客户点4交换，得到：

0 4 2 0 3 1 5 0

Insert (插入)：随机选择一个客户点，将其插入到另一条路线中的某个位置。例如，将上述解中的客户点2插入到客户点3和客户点1之间，得到：

0 1 0 3 2 4 5 0

2-opt: 选择一条路线，随机选择两个位置断开，然后将断开的部分进行反转。例如，对第一条路线 0 1 2 0进行 2-opt 操作，得到：

0 2 1 0 3 4 5 0

需要注意的是，在进行邻域生成操作后，需要检查新解是否满足车辆的载重限制，如果不满足，则需要重新生成新解或者进行调整。

3.3 目标函数

目标函数是评估解的优劣的标准。对于CVRP问题，目标函数通常是车辆行驶的总距离。假设客户点i和客户点j之间的距离为d(i, j)，那么目标函数可以表示为：

Minimize ∑(所有车辆路线) ∑(路线上的相邻节点) d(i, j)

除了行驶距离外，也可以将车辆的使用数量等其他因素纳入目标函数中，进行加权求和。

3.4 SA算法的具体步骤

初始化：随机生成一个初始解，计算其目标函数值f_current，设定初始温度T，降温系数α，终止温度T_min和最大迭代次数MAX_ITER。
迭代：
- 在当前温度T下，进行内部循环，循环次数为L。
- 在每次内部循环中，使用邻域生成操作，从当前解生成一个新的解。
- 计算新解的目标函数值f_new。
- 计算目标函数值的差Δf = f_new - f_current。
- 如果Δf < 0，则接受新解，即 f_current = f_new。
- 如果Δf >= 0，则以概率exp(-Δf/T)接受新解。
- 记录当前最优解。
降温： T = T * α。
判断终止条件：如果T < T_min 或者达到MAX_ITER，则终止算法，输出当前最优解，否则返回步骤2。

4. SA参数的设置

SA算法的性能很大程度上取决于参数的设置，包括初始温度T，降温系数α，终止温度T_min和内部循环次数L。

初始温度T：初始温度应该足够高，保证在搜索初期算法能够跳出局部最优解，进行广泛的搜索。一种常用的方法是，通过随机生成一些解，计算它们的目标函数值的方差，然后根据方差来设置初始温度。
降温系数α：降温系数决定了温度下降的速度。如果降温速度过快，算法容易陷入局部最优解；如果降温速度过慢，算法的运行时间会很长。通常情况下，降温系数设置为一个接近于1的值，如0.95或者0.99。
终止温度T_min：终止温度决定了算法的终止条件。终止温度应该足够低，保证算法能够收敛到全局最优解。
内部循环次数L：内部循环次数决定了在每个温度下算法的搜索次数。内部循环次数越大，算法的搜索范围就越广，但是运行时间也会越长。