【滤波跟踪】基于拓展卡尔曼滤波kalman实现数据滤波附Matlab代码5

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🔥 内容介绍

数据滤波是信号处理和控制系统领域中的一项关键技术，其目标是从包含噪声的观测数据中估计出信号的真实值，从而提高系统性能和可靠性。在各种滤波算法中，卡尔曼滤波（Kalman Filter）凭借其在处理线性高斯系统中的卓越性能，被广泛应用于状态估计和预测领域。然而，实际应用中，很多系统是非线性的，因此需要使用拓展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter, EKF）来处理非线性系统的数据滤波问题。本文将深入探讨基于拓展卡尔曼滤波实现数据滤波的原理、步骤和应用，并分析其优缺点，以期为读者提供更全面的理解。

卡尔曼滤波与非线性系统的挑战

传统的卡尔曼滤波算法是为线性高斯系统设计的。该算法假设系统状态的演化过程和观测过程都可以用线性方程来描述，并且噪声符合高斯分布。在这种假设下，卡尔曼滤波能够提供最优的状态估计。然而，现实世界中，很多系统都存在非线性特性，例如机器人运动学、目标跟踪、导航系统等。这些系统的状态转移函数和观测函数通常是非线性的，直接应用传统的卡尔曼滤波算法会导致估计精度下降甚至发散。

非线性给卡尔曼滤波带来的主要挑战在于，它要求计算状态概率分布的均值和方差。对于线性系统，状态的线性变换可以保证高斯分布的性质，即变换后的状态仍然服从高斯分布。因此，可以通过简单的矩阵运算来计算状态概率分布的均值和方差。但是，对于非线性系统，状态的非线性变换通常会破坏高斯分布的性质，导致无法准确计算状态概率分布的均值和方差。

拓展卡尔曼滤波(EKF)的原理与实现

拓展卡尔曼滤波(EKF)通过将非线性函数线性化来解决这个问题。它的基本思想是：在当前估计的状态点附近，使用泰勒级数展开将非线性函数近似线性化，然后将线性化的结果应用到标准的卡尔曼滤波方程中。具体来说，EKF将状态转移函数和观测函数进行一阶泰勒级数展开，并忽略高阶项，从而得到近似的线性化模型。

EKF的算法流程可以概括为以下几个步骤：

状态预测 (Predict): 利用状态转移函数预测当前时刻的状态。设状态转移函数为 f(x, u, w)，其中 x 是状态向量，u 是控制输入，w 是过程噪声。状态预测方程为：

xk|k-1 = f(xk-1|k-1, uk, 0)

其中，xk|k-1 表示基于 k-1 时刻的估计值对 k 时刻状态的预测，xk-1|k-1 表示 k-1 时刻的状态估计值。过程噪声项 w 被设置为 0，因为这里只进行状态预测，并不考虑过程噪声的影响。
协方差预测 (Predict Covariance): 计算预测状态的协方差矩阵。设过程噪声协方差矩阵为 Q，状态转移函数的雅可比矩阵为 F，协方差预测方程为：

Pk|k-1 = Fk-1 Pk-1|k-1 Fk-1T + Qk-1

其中，Pk|k-1 是预测状态的协方差矩阵，Pk-1|k-1 是 k-1 时刻的状态协方差矩阵，Fk-1 是状态转移函数 f(x, u, w) 关于状态变量 x 在 xk-1|k-1 处的雅可比矩阵。
计算卡尔曼增益 (Calculate Kalman Gain): 根据观测模型和噪声的统计特性计算卡尔曼增益。设观测函数为 h(x, v)，其中 v 是观测噪声。观测函数的雅可比矩阵为 H，观测噪声协方差矩阵为 R。卡尔曼增益的计算方程为：

Kk = Pk|k-1 HkT (Hk Pk|k-1 HkT + Rk)-1

其中，Kk 是卡尔曼增益，Hk 是观测函数 h(x, v) 关于状态变量 x 在 xk|k-1 处的雅可比矩阵。
状态更新 (Update): 利用观测值更新状态估计。状态更新方程为：

xk|k = xk|k-1 + Kk (zk - h(xk|k-1, 0))

其中，xk|k 是 k 时刻的状态估计值，zk 是 k 时刻的观测值，h(xk|k-1, 0) 是对预测状态的观测预测，观测噪声项 v 被设置为 0。
协方差更新 (Update Covariance): 更新状态协方差矩阵。协方差更新方程为：

Pk|k = (I - Kk Hk) Pk|k-1

其中，Pk|k 是 k 时刻的状态协方差矩阵，I 是单位矩阵。

通过迭代执行以上步骤，EKF可以逐步逼近状态的真实值，实现数据滤波。

拓展卡尔曼滤波的应用

拓展卡尔曼滤波凭借其处理非线性系统的能力，在众多领域得到广泛应用。

目标跟踪: 目标跟踪是EKF的典型应用之一。目标的状态通常包括位置、速度和加速度，而目标的运动模型通常是非线性的，例如匀速圆周运动或机动运动。利用EKF可以根据雷达、摄像头等传感器提供的观测数据，估计目标的状态，实现对目标的跟踪。
机器人导航: 机器人导航需要估计机器人的位置和姿态。机器人的运动模型和传感器模型，例如激光雷达和惯性测量单元(IMU)，通常都是非线性的。 EKF可以融合来自不同传感器的信息，估计机器人的状态，实现自主导航。
姿态估计: 姿态估计是指估计物体在空间中的旋转角度。姿态通常用欧拉角、四元数或旋转矩阵来表示，而这些表示方法本身就是非线性的。利用EKF可以根据IMU或其他传感器的数据，估计物体的姿态，应用于航空航天、虚拟现实等领域。
金融预测: 某些金融模型的预测也涉及到非线性方程，EKF可用于对这些模型的参数进行估计，从而提高预测的准确性。

拓展卡尔曼滤波的优缺点分析

拓展卡尔曼滤波具有以下优点：

简单易实现: EKF基于卡尔曼滤波框架，原理相对简单，容易实现。
计算效率较高: EKF的计算复杂度主要取决于雅可比矩阵的计算，在状态维度不高的情况下，计算效率较高。
适用范围广: EKF可以应用于各种非线性系统，具有较强的通用性。

然而，EKF也存在一些缺点：

线性化误差: EKF通过泰勒级数展开将非线性函数线性化，忽略了高阶项，导致存在线性化误差。当非线性程度较高时，线性化误差会显著降低估计精度，甚至导致滤波发散。
雅可比矩阵计算复杂: 计算雅可比矩阵需要进行偏导数运算，对于复杂的非线性函数，计算难度较大，容易出错。
对初始值敏感: EKF的性能对初始状态估计和协方差矩阵的选择比较敏感。如果初始值设置不当，可能会导致滤波发散。
不保证最优性: 由于线性化误差的存在，EKF只能提供次优的估计结果，无法保证最优性。

总结与展望

拓展卡尔曼滤波(EKF)是一种广泛应用于非线性系统数据滤波的有效方法。它通过将非线性函数线性化，将标准的卡尔曼滤波算法扩展到非线性系统。 EKF在目标跟踪、机器人导航、姿态估计等领域取得了广泛的应用。然而，EKF也存在线性化误差、雅可比矩阵计算复杂等缺点。

为了克服EKF的缺点，研究人员提出了多种改进算法，例如无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter, UKF) 和粒子滤波(Particle Filter)。 UKF通过无迹变换(Unscented Transformation) 逼近状态概率分布，避免了显式计算雅可比矩阵，提高了估计精度。粒子滤波则采用蒙特卡洛方法，利用大量粒子来表示状态概率分布，能够处理高度非线性和非高斯系统。

未来的研究方向包括：

提高滤波精度: 研究更精确的非线性滤波算法，例如高斯求积卡尔曼滤波(Gauss-Hermite Kalman Filter, GHKF) 和高阶卡尔曼滤波等。
降低计算复杂度: 研究高效的雅可比矩阵计算方法，例如自动微分和伴随方法。
增强鲁棒性: 研究对初始值和模型误差不敏感的滤波算法，例如自适应卡尔曼滤波和鲁棒卡尔曼滤波。
与其他技术的融合: 将卡尔曼滤波与其他技术，例如深度学习和强化学习，融合起来，实现更智能的数据滤波和状态估计。

总之，拓展卡尔曼滤波作为一种经典的数据滤波算法，在处理非线性系统方面发挥着重要作用。随着技术的不断发展，我们期待更加高效、精确和鲁棒的滤波算法出现，为各个领域的应用提供更强大的支持。

📣 部分代码

clear% Define the system parametersA = [0, 1; -.2, -.3];B = [0.05; 1];H = [1, 0];Q = [0.1, 0; 0, 0.0001];R = 0.5;P = 10*eye(2);x = [10; 0];D = 0;syst = ss(A,B,H,D);T = 8e-3;tspan = 0:T:50;n_steps = length(tspan);reshape(tspan,length(tspan),1);uspan = ones(length(tspan),1);% uspan = 1*sin(tspan*2*pi*1);[y,~,x_real] = lsim(syst,uspan,tspan);y = y + sqrt(R)*randn(n_steps,1);syst_d = c2d(syst,T);figure(1);clf(1);step(syst); hold on;step(syst_d);% Create the Kalman Filter objectkf = KalmanFilter(syst_d.A, syst_d.B, syst_d.C, Q, R, P, x);% kf = KalmanFilter(A, B, H, Q, R, P, x);u_hist = zeros(length(n_steps),1);y_est_hist = zeros(length(n_steps),1);x_hist = zeros(length(n_steps),2);x_hist(1,:) = x;for i = 2:length(tspan)    % Predict and update steps    u = uspan(i);  % Control input    z = y(i);  % Measurement    kf = kf.predict(u);    kf = kf.update(z);    y_est =  H*kf.x;    y_est_hist(i) = y_est;    x_hist(i,:) = reshape(kf.x,1,2);end% Display the state estimatefigure(2);clf(2);plot(tspan,y,tspan,y_est_hist);xlabel("Time (s)");ylabel("System output");legend("Measured","Estimated");figure(3);clf(3);subplot(2,1,1)plot(tspan,x_real(:,1),tspan,x_hist(:,1));xlabel("Time (s)");ylabel("State x1 ");legend("True","Estimated");subplot(2,1,2)plot(tspan,x_real(:,2),tspan,x_hist(:,2));xlabel("Time (s)");ylabel("State x2 ");legend("True","Estimated");