一个不等式高等数学方法证明

求证：a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd>=a^2 b^2+a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2+c^2 d^2

                                                           a,b,c,d>=0

证明：设函数f(a,b,c,d)= a^4+b^4+c^4+d^4+2abcd

-( a^2 b^2+a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2+c^2 d^2)

    只需证明该函数的最小值为0即可。

    求出函数的四个一阶偏导数，令其为0，得

      2 a^3+2 bcd-a b^2-a c^2-a d^2=0

整理后，得

      3 a^3+bcd=a (a^2+b^2+c^2+d^2)         (1)

    类似，得到

      3 b^3+acd=b (a^2+b^2+c^2+d^2)         (2)

3 c^3+abd=c (a^2+b^2+c^2+d^2)         (3)

3 d^3+abc=d (a^2+b^2+c^2+d^2)         (4)

联立(1),(2),(3),(4)得到方程组。

由对称性，我们分四种情况来求解该方程组：

（i） a与b,c,d都不相等

    若a不等于0，则

    a*(1)-b*(2),并整理后得

      2(a^2+b^2)=c^2+d^2

    a*(1)-c*(3),得

      2(a^2+c^2)=b^2+d^2

    a*(1)-d*(4),得

      2(a^2+d^2)=b^2+c^2

    以上三式相加，得

      a^2=0,即 a=0, 矛盾

    若a等于0，代入（1），得

       bcd=0,即b,c,d中至少有一个为0，也就是说，b,c,d中至少一个与a相等，这与a与b,c,d都不相等矛盾，故本情况不会是方程组的解。

（ii） a=b与c,d都不相等

    若a=b不等于0

    a*(1)-c*(3),得

      a^2+2 c^2=d^2

    a*(1)-d*(4),得

      a^2+2 d^2=c^2

    两式相加，得

      2 a^2+c^2+d^2=0,即 a=c=d=0,矛盾

    若a=b=0,代入（3）和（4），得

      2 c^2=d^2

      2 d^2=c^2

    相加，得 c^2+d^2=0,即 c=d=0,矛盾

 故本情况也不可能是方程组的解。

（iii） a=b=c与d不相等

      若a=b=c不等于0

        a*(1)-d*(4),得

          a^2+2 d^2=c^2

     即 d^2=0,得d=0，矛盾

    若a=b=c等于0，代入（4），得

      d^3=0,即d=0,矛盾

 故本情况也不可能是方程组的解。

（iv） a=b=c=d

    代入方程组，满足方程组，故方程组的解为a=b=c=d.

 

f(a,a,a,a)=0,所以fmin=0,即对任意a,b,c,d>=0,都有f(a,b,c,d)>=0,从而原不等式得证。