快速幂+逆元求组合数

原创 于 2024-12-08 22:24:46 发布 · 498 阅读 · 11 ·
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#c++ #算法 #开发语言

在计算组合数 C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} 时，直接暴力计算既慢又容易溢出。今天我们来揭开 快速幂 和 模逆元 的神秘面纱，带你一边学习理论，一边轻松解决实际问题！

什么是快速幂？

快速幂是一种高效计算 a^b \mod p 的方法。它利用指数的二进制表示，巧妙地减少了乘法次数，把原本复杂的幂运算大幅加速。

快速幂的原理

假设你要计算 a^b，比如 2^{13}，可以写成：

2^{13} = 2^{8} \cdot 2^{4} \cdot 2^{1}

这里的 8,4,1 是 13 的二进制表示 1101。快速幂的核心思想就是通过分解指数，把幂运算拆分成多个平方和相乘的过程。

具体分解步骤如下：

  1. 如果指数 b 是奇数，取出当前底数 a 的值乘到结果中。
  2. 把底数 a 平方（相当于处理下一位二进制），指数 b 除以 2。</
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快速幂 逆元
benTuTuT的博客
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快速幂，逆元模板
快速幂求逆元
城南的花
04-18 1936
费马小定理 在模为**素数**p的情况下，有费马小定理 a^(p-1)=1（mod p） 那么a^(p-2)=a^-1(mod p) 也就是说a的逆元为a^(p-2) 而在模**不为素数**p的情况下，有欧拉定理 a^phi(m)=1（mod m） (a⊥m) 同理a^-1=a^(phi(m)-1) 因此逆元x便可以套用快速幂求得了x=a^(phi(m)-1) 但是似乎还有个问题...
快速幂_逆元_求组合数
qq_36706625的博客
04-22 487
快速幂：递归形式：static long pow_mod(long a, long n) { if (n == 0) { return 1; } long x = pow_mod(a, n / 2); long ans = x * x % MOD; if ((n &amp; 1) == 1) { ans = ans * a % MOD; } return ...
快速幂求组合数
zhe_zhenbuhui_a的博客
09-26 260
ll quick(ll a,ll b){ //计算a^b并且对mod取余 ll ans = 1; while(b){ if(b & 1) ans = ans * a % mod; a = a * a % mod; b >>= 1; } return ans % mod; } ll calc(ll n,ll m) {//求组合数 if(m > n) return 0; return (fac[n] .
用快速幂的方法求组合数
名字不能相同
11-14 706
题目链接???? 需要用到的知识 组合数 其中：C(r,n) = r! / (n!*(m-n)!) //默认n>r 判断一个数是否是奇数：if( n&1 ) 其中：n为奇数 // 奇数2进制末位为1，1与1进行与运算结果为1； 拓展： n>>=1 右移1位 除以2； n<<=1 左移1位 乘以2； 费马小定理 费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p） 所以a*a^(p-2)≡1（mod p）
求组合数 ：DP、逆元+快速幂
qq_40586164的博客
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要求：求 Cmn%pC_{m}^n \% pCmn​%p ，p为素数（经典p=1e9+7） 方法一：DP C[n][m]=CnmC_{n}^mCnm​ 公式Cnm=Cn−1m−1+Cn−1mC_{n}^m=C_{n-1}^ {m-1}+C_{n-1}^{m}Cnm​=Cn−1m−1​+Cn−1m​ 证明：班级中有n个人，选出m个人开除，有两种选法： 班长不开除，从剩下的人中开除m个人 开除班长，从剩下的人中开除m-1个人 const int MOD = 1e9 + 7; int C[1005][1005
快速入门之——乘法逆元求组合数
serendipity的博客
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组合数计算（快速幂）
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用快速幂更高效。。。 #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1000000009; const ll maxn=100; ll c[12345
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#include<iostream> using namespace std; const int N=2010,mod=1e9+7; int c[N][N]; void init() { for(int i=0; i<N; i++) { for(int j=0; j<=i; j++) { if(!j) c[i][j]=1; else
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快速幂 逆元 求组合数
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08-12 627
我们知道 如果 a*x = 1 那么x是a的倒数，x = 1/a 但是a如果不是1，那么x就是小数 那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了 a*x  = 1 (mod p) 那么x一定等于1/a吗 不一定 所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做    a关于p的逆元，a和p互质，a才有关于p的逆元。 a的逆元，我们用inv(a)来表示 ...
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快速幂求逆元c++模版
最新发布
08-24
### 快速幂算法在C++中求解逆元的方法 在模运算中，当模数 $ p $ 为质数时，可以使用**费马小定理**来求解乘法逆元。根据费马小定理，若 $ a $ 与 $ p $ 互质，则 $ a^{p-2} \mod p $ 即为 $ a $ 关于模 $ p $ 的逆元[^2]。为了高效计算 $ a^{p-2} \mod p $，通常采用**快速幂算法**。 快速幂算法的核心思想是利用**分治法**和**二进制分解**来减少幂运算的计算次数。其基本原理是将指数 $ b $ 分解为二进制形式，并在每一步中将底数平方，从而在 $ O(\log b) $ 的时间复杂度内完成计算。 以下是一个通用的 C++ 模板代码，用于通过快速幂算法求解逆元： ```cpp #include <iostream> using namespace std; typedef long long LL; LL qmi(LL a, LL b, LL p) { LL res = 1; while (b) { if (b & 1) res = res * a % p; a = a * a % p; b >>= 1; } return res; } int main() { int n; cin >> n; while (n--) { int a, p; cin >> a >> p; if (a % p == 0) { cout << "impossible" << endl; } else { cout << qmi(a, p - 2, p) << endl; } } return 0; } ``` 该代码中，`qmi` 函数实现了快速幂算法，用于计算 $ a^b \mod p $。在求逆元时，调用 `qmi(a, p - 2, p)` 来计算 $ a^{p-2} \mod p $。若 $ a $ 与 $ p $ 不互质（即 $ a \mod p = 0 $），则说明逆元不存在，输出 `impossible` [^4]。 ### 应用场景 - **密码学**：在 RSA 加密算法中，常需要计算模逆元来生成密钥。 - **组合数学**：在计算组合数的模运算时，常使用快速幂求逆元以避免除法。 - **竞赛编程**：快速幂是处理大指数幂模运算的标准工具，广泛应用于各类算法竞赛中。 ### 注意事项 - 快速幂算法适用于模数 $ p $ 为质数的情况，若 $ p $ 不是质数，则需使用扩展欧几里得算法或线性筛法求解逆元。 - 在使用快速幂算法时，必须确保 $ a $ 与 $ p $ 互质，否则逆元不存在。 - 若 $ a $ 与 $ p $ 不互质，则输出 `impossible`，表示不存在逆元。
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