深入理解与实践：二分查找算法详解及代码模板-优快云博客

在计算机科学中，二分查找算法（英语：binary search algorithm），也称折半搜索算法（英语：half-interval search algorithm）[1]、对数搜索算法（英语：logarithmic search algorithm）[2]，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

二分查找算法在最坏情况下是对数时间复杂度的，需要进行 $O(log N)$ 次比较操作。二分查找算法使用常数空间，对于任何大小的输入数据，算法使用的空间都是一样的。除非输入数据数量很少，否则二分查找算法比线性搜索更快，但数组必须事先被排序。尽管一些特定的、为了快速搜索而设计的数据结构更有效（比如哈希表），二分查找算法应用面更广。

二分查找算法有许多种变种。比如分散层叠可以提升在多个数组中对同一个数值的搜索的速度。分散层叠有效的解决了计算几何学和其他领域的许多搜索问题。指数搜索将二分查找算法拓宽到无边界的列表。二叉搜索树和B树数据结构就是基于二分查找算法的。

————copy自维基百科

二分查找思路

二分搜索只对有序数组有效。二分搜索先比较数组中位元素和目标值。如果目标值与中位元素相等，则返回其在数组中的位置；如果目标值小于中位元素，则搜索继续在前半部分的数组中进行。如果目标值大于中位元素，则搜索继续在数组上部分进行。由此，算法每次排除掉至少一半的待查数组。

代码实现（一般的版本）

二分查找的代码实现一般有很多种，这里举例一部分：

模板1

int search(int nums[], int size, int target) {
    int left = 0;
    int right = size - 1;	
    while (left <= right) {	
        int middle = left + ((right - left) / 2);
        if (nums[middle] > target) {
            right = middle - 1;	
        } else if (nums[middle] < target) {
            left = middle + 1;	
        } else {	
            return middle;
        }
    }
    return -1;
}

模板2

int search(int nums[], int size, int target){
	int left = 0;
	int right = size; 
	while (left < right) {	
		int middle = left + ((right - left) / 2);
		if (nums[middle] > target) {
			right = middle; 
		} else if (nums[middle] < target) {
			left = middle + 1;
		} else {
			return middle;
		}
	} 
	return -1;
}

模板3

int search(int nums[], int size, int target) {
    int left = 0;
    int right = size - 1;
    while (left < right)
    {
        int mid = left + right + 1 >> 1;	
        if (num[mid]>target) {
            left = mid;
        }
        else if(num[mid]<target){
            right = mid - 1;
        }
        else if(num[mid]==target){
        return mid;
    }
    return -1;
}

具体可以参考以下文章：

【二分查找】详细图解_二分查找法流程图-优快云博客

二分查找 & 二分答案万字详解，超多例题，带你学透二分。_c++二分答案怎么确定是l<r还是l<=r-优快云博客

新的方法

我们可以看一下之前的代码，不难发现，上述代码while跳出循环条件，middle的取值，left等于middle+/-1，right等于middle+/-1都不一样。他们都有一个共同点，那就是：都是对二分循环体根据题目条件的不同而改变。但是或许我们可以换一个思路：不对循环体改变，而是改变check(middle)函数以及输出的数值，这样我们的循环体就可以不用改变了，也方便好记。

代码模板

bool check(int x) {
	if (condition) return 1;
	else return 0;
}
int find(int* arr, int left, int right) {
	left--;
	right++;
	while (right - left > 1) {
		int middle = left + right >> 1;
		if (check(middle)) left = middle;
		else right = middle;
	}
	return left / right;
}

注意到，循环体是无论什么题都可以套用这个模板的，关键是要改变check函数和return的值。

做题思路和细节

第一步，将我们的数组分为target及左侧，和target右侧两部分，为了方便讲述，我们分别标成1（满足）和0（不满足）。我们要找到合适的check函数，是的target及左边均为1，右边均为0。L和R一开时在外面是因为数组有可能是全为1或者全为0的。需要注意，无论什么时候：L都在1区，R都在0区。

一开始
L，R位置	L				M				R
是否满足		1	1	1	1	1...1(tar)0...	0	0
下标	-1	0	1	2	3	... target...	n-2	n-1	n

第二步，如果check(mid)为1，证明M左侧的下标都满足，于是我们可以把M换成L，反之换成R

移动后
L，R位置					L				R
是否满足		1	1	1	1	1...1(tar)0...	0	0
下标	-1	0	1	2	3	... target...	n-2	n-1	n

重复第二步的过程，直到L在R旁边，跳出循环

L，R位置					L	R
是否满足		1	1	1	1	0	0	0
下标	-1	0	1	...	target	target+1	...	n-1	n

注意到L始终在满足区，R始终在不满足区，故跳出循环时，L必为target，R必为target+1，接下来根据题目需要输出L或者R。

关于新方法的常见问题

一，会不会陷入死循环？

事实上是不会的。因为mid=(left+right)/2。我们可以证明：当right-left>=2时，经过mid=left或mid=right操作后，right-left会严格单调递减。而当right-left==1时不满足循环条件，会跳出循环。

二，这个方法能不能遍历所有元素

答案是能，因为无论何时，L左边的元素都是满足的，及已被遍历的，而R右边的元素同理。当跳出循环时，L就在R左边，L和R之间已经没有其他元素了，故能遍历所有元素。

一道例题

可能光说理论大家无法理解，现在结合一道例题方便大家理解：

题目描述

在一个单调递增的数组中，有一个target，你需要返回target的下标。输入共两行，第一行为数组大小和target。第二行为数组。输出共一行，及target的下标。数据范围：N<10000。

思路

首先，我们要定义check，我们令check为：当小于等于target输出1，其余情况则输出0。这样target也在1区，我们最后输出时应该输出L。接下来就是套用模板了。

代码

#include<iostream>
const int N = 10010;
int arr[N];
int n,t;
bool check(int mid) {
	if (arr[mid] <= t) {
		return 1;
	}
	return 0;
}
int find(){
	int l = -1;
	int r = n;
	while (r - l > 1) {
		int mid = r + l >> 1;
		if (check(mid)) l=mid;
		else r=mid;
	}
	return l;
}
int main() {
	std::cin >> n;
	std::cin >> t;
	for (int i = 0; i < n; i++) std::cin >> arr[i];
	std::cout << find();
}

提交结果：

输入 8 4
     1 1 1 4 6 7 8 9
输出 3