16、集合论中的AD+相关概念与性质探讨

集合论中的AD+相关概念与性质探讨

在集合论的研究中，<Θ - 确定性、∞ - 波莱尔集以及锥测度等概念有着重要的地位。下面将对这些概念及其相关性质进行详细介绍。

1. <Θ - 确定性与∞ - 波莱尔集

在集合论的逻辑推理中，根据莫绍揆编码引理（Moschovakis Coding Lemma），存在一对 $(f, A)$ 构成 <Θ - 确定性反例的断言等价于一个 $\Sigma_2^1$ 语句。如果在 $L(\mathbb{R})$ 中 <Θ - 确定性不成立，那么索洛维基础定理（Solovay Basis Theorem）表明存在一个反例，其中 $A$ 是苏斯林（Suslin）且余苏斯林的。但定理 3.19 指出这是不可能的，由此得出，可测性公理（AD）意味着在 $L(\mathbb{R})$ 中 <Θ - 确定性成立。

对于“$\omega^\omega$ 的每个子集都是 ∞ - 波莱尔集”这一陈述，也可以通过类似的论证得出结论。

2. ∞ - 波莱尔码

2.1 无穷 ∞ - 波莱尔码

在这部分，我们给出了一种与经典波莱尔集概念相对应的 ∞ - 波莱尔集的替代（等价）定义。该定义使用无穷语言来定义 $2^\omega$ 的 ∞ - 波莱尔子集。

定义 6.1：对于无限序数 $\gamma$，$L_{\gamma,0}$ 是具有 0 元谓词 ${p_n : n \in \omega}$ 的语言，它在一元否定连接词以及由 $\gamma$ 的子集索引的良序析取和合取运算下是封闭的。我们令 $L_{\infty,0}$ 是所有序数 $\gamma$ 的语言 $