21、时间表格析取推理在累积约束中的应用

时间表格析取推理在累积约束中的应用

1. 引言

在现实世界中，许多调度问题都涉及到累积资源。资源可以看作是任何可再生实体的抽象，如机器、电力，甚至人力，用于执行任务（也称为活动）。尽管许多任务可以同时在同一资源上调度，但在任何时刻，资源的总使用量都不能超过固定容量。

我们聚焦于一个具有离散有限容量 $C \in N$ 的单一累积资源和一组 $n$ 个任务 $T = {1, \ldots, n}$。每个任务 $i$ 有一个开始时间 $s_i \in Z$、固定持续时间 $d_i \in N$ 和结束时间 $e_i \in Z$，且满足等式 $s_i + d_i = e_i$。此外，每个任务 $i$ 在其处理时间内消耗固定数量的资源 $c_i \in N$，并且任务是非抢占式的，即它们在处理过程中不能被中断。

累积约束确保在任何时间 $t$，累积的资源消耗不超过最大容量 $C$，公式如下：
$\forall t \in Z : \sum_{i \in T : s_i \leq t < e_i} c_i \leq C$

然而，确保累积约束的边界一致性已经是 NP 难题。因此，在过去的二十年中，人们提出了许多松弛方法，以多项式时间去除不一致的开始和结束时间。以下是一些常见的过滤规则：
| 过滤规则 | 时间复杂度 | 特点 |
| ---- | ---- | ---- |
| 时间表格（Time - Tabling） | 最快 $O(n \log n)$，Letort 算法 $O(n^2)$ | 可扩展性好，但过滤能力有限 |
| 能量推理（Energetic Reasoning） | $O(n^3)$ | 过滤