12、计算与通信编码理论：信息、编码与信号传输的探索

计算与通信编码理论：信息、编码与信号传输的探索

在信息与通信的领域中，我们常常会思考如何高效地传递和处理信息。本文将深入探讨信息理论、编码技术以及模拟信号传输等关键概念，揭示它们背后的原理和应用。

1. 信息理论基础

信息理论的核心在于量化信息的量。最初，我们定义一条消息中的信息为 (I = \log_2 n)，其中 (n) 是我们可能收到的等概率消息的数量。这意味着每条消息都包含相同数量的信息。然而，在现实中，有些消息比其他消息更有可能出现，此时，消息出现的可能性越大，其所包含的信息就越少。这与我们对信息的直观理解相符，即消息带来的“惊喜”程度代表了其信息含量。

为了更深入地理解信息理论，我们以一个由符号组成的消息为例。假设消息由 (i) 个符号组成，每个符号 (a_i) 出现的概率为 (P_i)，且消息中每个符号的出现相互独立。对于长度为 (N) 的消息，我们可以预期符号 (a_1) 平均出现 (Np_1) 次，(a_2) 出现 (Np_2) 次，以此类推。通过组合数学的方法，我们可以计算出 (N) 个符号组成的不同消息的数量。

具体来说，根据组合数学公式，如果有 (N) 个对象，其中 (m) 个为一种类型，(n) 个为另一种类型，(p) 个为再一种类型，以此类推，且 (m + n + p + \cdots = N)，那么这些对象的不同排列数量为 (\frac{N!}{m!n!p!\cdots})。因此，平均而言，(N) 个符号组成的不同消息数量为 (\frac{N!}{\prod_{i = 1}^{M}(Np_i)!})。

通过对这个数量取以 2 为底的对数，并使用斯特林近似（Stirling’s approximation），我们可