7、计算理论中的有限状态机：原理、应用与局限

计算理论中的有限状态机：原理、应用与局限

1. 通用图灵机与有限状态机概述

在计算理论的领域中，通用图灵机（UTM）是一个核心概念。图灵断言，任何可以通过有效程序完成的事情，通用图灵机都能做到；反之，如果通用图灵机无法解决某个问题，那么就不存在解决该问题的有效程序。尽管这只是一个猜想，但它得到了广泛的认可和大量的理论支持，目前还没有人能够设计出在原理上超越通用图灵机的机器。

在深入了解通用图灵机之前，我们先来看看它的“简单兄弟”——有限状态机（FSM）。典型的图灵机由两部分组成：一个潜在无限长的磁带和在磁带上移动并操作其内容的机器本身。需要注意的是，磁带并非是对一个非常聪明的机器的次要补充，没有磁带，图灵机的能力会大打折扣。我们将从研究没有磁带的图灵机开始，也就是有限状态机。

2. 有限状态机的基本原理

2.1 有限状态机的工作模式

有限状态机的基本工作模式如下：机器从某个内部状态 Q 开始，这个状态可能只是在内存中保存一个数字。然后，它接收一个输入（或刺激）S，这个输入可以是从有限磁带上读取的信息，也可以通过其他方式输入。机器会对这个输入做出反应，转变到另一个状态 Q’，并输出一个响应 R。机器转变的状态和输出的响应由初始状态和输入共同决定。之后，机器会重复这个循环，读取另一个输入，再次改变状态，并再次输出响应。

为了与实际机器建立联系，我们引入一个离散时间变量 t。在给定时间 t，机器处于状态 Q(t) 并接收符号 S(t)。我们安排机器在一个脉冲后，即时间 t + 1 时输出对该状态的响应。为了方便表示，我们引入两个函数 F 和 G 来描述有限状态机：
- (R[t + 1] = F[S(t), Q(t)]) <