66、Q学习算法及其在期权交易中的应用

Q学习算法及其在期权交易中的应用

1. Q学习算法基础

Q学习算法是一种强化学习算法，在许多领域都有广泛应用。下面我们来详细了解其实现细节。

1.1 初始化与策略定义

构造函数使用输入数据、奖励（第1行）和概率（第2行）初始化 QLData 类型的 qlData 矩阵。 QLPolicy 类定义了奖励、概率和Q学习动作值矩阵中元素的方法，代码如下：

def R(from: Int, to: Int): Double = qlData(from)(to).reward  //3
def Q(from: Int, to: Int): Double = qlData(from)(to).value  //4

1.2 Q学习训练

QLearning 类封装了Q学习算法，特别是动作值更新方程。它实现了 PipeOperator 用于在状态之间进行转换，其构造函数所需参数如下：
- 算法配置 config
- 搜索空间 qlSpace
- 策略 qlPolicy

class QLearning[T](config: QLConfig, qlSpace: QLSpace[T],qlPolicy: 
QLPolicy[T])  extends PipeOperator[QLState[T], QLState[T]]

配置定义了学习率 alpha 、折扣率 gamma 、一个回合的最大状态数 episodeLength 、训练使用的回合数 numEpisodes 、训练期间选择最佳策略时状态转换/动作的最小覆盖率 minCoverage 以及搜索约束函数 neighbors ：

class QLConfig(val alpha: Double, val gamma: Double, val 
episodeLength: Int, val numEpisodes: Int, val minCoverage: Double, val 
neighbors: (Int, Int) => List[Int]) extends Config

为了计算训练期间的最佳策略，我们需要定义一个模型类 QLModel ，以最佳策略及其训练的状态转换覆盖率作为参数：

class QLModel[T](val bestPolicy: QLPolicy[T], val coverage:Double)

模型的创建包括执行多个回合以提取最佳策略，每个回合从随机选择的状态开始：

val model: Option[QLModel[T]] = {
  val r = new Random(System.currentTimeMillis) //1
  val rg = Range(0, config.numEpisodes)
  val cnt =rg.foldLeft(0)((s, _) => s+(if(train(r)) 1 else 0))//2

  val accuracy = cnt.toDouble/config.numEpisodes
  if( accuracy > config.minCoverage )
     Some(new QLModel[T](qlPolicy, coverage)) //3
  else None
}

上述代码中，模型初始化创建了一个随机数生成器（第1行），并从随机选择的状态开始迭代生成最佳策略 config.numEpisodes 次（第2行）。转换覆盖率计算为搜索以目标状态结束的次数百分比（第3行），只有当准确率超过配置中指定的阈值 config.minCoverage 时，初始化才会成功。

1.3 模型质量评估

实现使用覆盖率来衡量模型或最佳策略的质量，由于没有误报，F1度量并不适用。

train 方法在每个回合中承担主要工作，它使用随机生成器 r 选择初始状态来触发搜索：

def train(r: Random): Boolean =  {
   r.setSeed(System.currentTimeMillis*Random.nextInt)
   qlSpace.isGoal(search((qlSpace.init(r), 0))._1)
}

搜索目标状态的实现采用了Scala的尾递归，尾递归是一种非常有效的构造，可优化递归期间函数栈帧的管理：

@scala.annotation.tailrec
def search(st: (QLState[T], Int)): (QLState[T], Int) = {
  val states = qlSpace.nextStates(st._1) //1
  if( states.isEmpty || st._2 >= config.episodeLength ) st //2
  else {
    val state = states.maxBy(s => qlPolicy.R(st._1.id,s.id ))//3

    if( qlSpace.isGoal(state) ) (state, st._2) //4
    else {
      val r = qlPolicy.R(st._1.id, state.id)
      val q = qlPolicy.Q(st._1.id, state)  //5
      val nq = q + config.alpha*(r + config.gamma * 
                           qlSpace.maxQ(state, qlPolicy) - q)//6
      qlPolicy.setQ(st._1.id, state.id, nq) //7
      search((state, st._2))
    }
  }
}

尾递归使用元组（状态，回合中的迭代次数）作为参数。首先，递归调用 QLSpace 的 nextStates 方法来检索与当前状态通过其动作关联的所有状态：

def nextStates(st: QLState[T]): List[QLState[T]] = 
    st.actions.map(ac => statesMap.get(ac.to).get )

如果达到回合长度、达到目标或没有更多状态可转换，搜索完成并返回当前状态（第2行）。否则，递归计算从当前策略转换产生更高奖励 R 的状态（第3行）。如果该状态是目标状态之一，则返回该状态（第4行）。方法从策略中检索当前的q动作值和r奖励矩阵，然后应用方程更新动作值（第6行），最后用新值 nq 更新动作值 Q （第7行）。

动作值更新方程需要计算与当前状态关联的最大动作值，这由 QLSpace 类的 maxQ 方法执行：

def maxQ(state: QLState[T], policy: QLPolicy[T]): Double = {
   val best = states.filter( _ != state)
                    .maxBy(st => policy.EQ(state.id, st.id))
   policy.EQ(state.id, best.id)
}

1.4 算法目标可达性

该算法不要求每个回合都达到目标状态，毕竟不能保证从任何随机选择的状态都能达到目标。算法的约束是在回合内状态转换时遵循奖励的正梯度，训练的目标是计算从任何给定初始状态的最佳可能策略或状态序列。我们需要独立于每个回合是否达到目标状态来验证从训练集中提取的模型或最佳策略。

1.5 预测功能

QLearning 类的最后一个功能是使用训练期间创建的模型进行预测，该方法从现有状态预测一个状态：

def |> : PartialFunction[QLState[T], QLState[T]] = {
  case state: QLState[T] if(state != null && model != None)  
      => nextState(state, 0)._1
}

数据转换 |> 使用另一个尾递归计算给定状态的最佳结果 nextState ：

@scala.annotation.tailrec
def nextState(st: (QLState[T], Int)): (QLState[T], Int) =  {
   val states = qlSpace.nextStates(st._1)

   if( states.isEmpty || st._2 >= config.episodeLength)  st
   else nextState( (states.maxBy(s =>
               model.get.bestPolicy.R(st._1.id, s.id)), st._2+1))
}

预测在没有更多状态可用或回合内的最大迭代次数超过时结束，我们可以定义更复杂的退出条件，但挑战在于除了时间差异误差外，没有可使用的显式误差或损失变量/函数。预测返回最佳可能状态，如果训练期间无法创建模型，则返回 None 。

2. Q学习在期权交易中的应用

Q学习算法在金融和市场交易应用中广泛使用，下面我们考虑在给定一些市场条件和交易数据的情况下，计算某些类型期权的最佳交易策略问题。

2.1 期权基础知识

期权是一种合同，赋予买方在特定日期或之前以特定价格购买或出售标的资产的权利而非义务。期权价格取决于以下参数：
- 期权到期时间（时间衰减）
- 标的证券价格
- 标的资产回报的波动率

定价模型通常不考虑标的证券交易量的变化，因此将其纳入我们的模型会很有趣。我们使用以下四个标准化特征来定义期权的状态：
- 时间衰减：在[0, 1]上归一化后的到期时间。
- 相对波动率：交易时段内标的证券价格的相对变化。
- 相对于交易量的波动率：考虑交易量调整后的证券价格相对波动率。
- 当前价格与执行价格的相对差异：价格与执行价格之差与执行价格的比率。

2.2 期权交易策略实现步骤

使用Q学习实现期权交易策略包括以下步骤：
1. 描述期权的属性
2. 定义函数近似
3. 指定状态转换的约束

2.3 期权属性定义

选择 N = 2 作为未来预测的天数，由于长期预测超出离散马尔可夫模型的约束，不太可靠，因此期权两天后的价格就是奖励值——利润或损失。

OptionProperty 类封装了期权的四个属性：

class OptionProperty(timeToExp: Double, relVolatility: Double, 
volatilityByVol: Double, relPriceToStrike: Double) {
   val toArray = Array[Double](timeToExp, relVolatility, 
volatilityByVol, relPriceToStrike)
}

实现避免对 QLState 类进行子类化来定义期权定价模型的特征，期权的状态是状态类的参数化 prop 参数。

2.4 期权模型

OptionModel 类是期权属性的容器和工厂，它通过访问前面介绍的四个特征的数据源创建期权属性列表 propsList ，其构造函数参数如下：
- 证券符号
- 期权执行价格 strikePrice
- 数据源 src
- 最小时间衰减或到期时间 minTDecay
- 用于近似每个特征值的步数（或桶数） nSteps

class OptionModel(symbol: String, strikePrice: Double, src: 
DataSource, minExpT: Int, nSteps: Int) {
val propsList = {
  val volatility = normalize((src |> relVolatility).get.toArray
  val rVolByVol = normalize((src |> volatilityByVol).get.toArray
  val priceToStrike = normalize(price.map(p => 1.0-strikePrice/p)

  volatility.zipWithIndex  //1
            .foldLeft(List[OptionProperty]())((xs, e) => {

      val normDecay = (e._2+minExpT).toDouble/(price.size+minExpT) //2
      new OptionProperty(normDecay, e._1, volByVol(e._2),priceToStrik
e(e._2)) :: xs
  }).drop(2).reverse
}

工厂使用Scala的 zipWithIndex 方法对交易时段的索引进行建模（第1行），所有特征值都在[0, 1]区间内归一化，包括 normDecay 期权的时间衰减（第2行）。

2.5 函数近似

期权的四个属性是连续值，在[0, 1]上归一化为概率。Q学习算法中的状态是离散的，需要进行离散化或分类，即函数近似。例如，将归一化值转换为三个区间或桶的函数近似会生成$3^4 = 81$个状态或潜在的$3^8 - 3^4 = 6480$个动作。对于 l 个桶的函数近似和 n 个特征，最大状态数为$l^n$，最大动作数为$l^{2n} - l^n$。

函数近似设计需要解决以下两个相互冲突的要求：
- 准确性要求细粒度近似
- 有限的计算资源限制了状态数量和近似级别

OptionModel 类的 approximate 方法将期权属性特征的归一化值转换为桶索引数组，并返回一个以桶索引数组为键的每个桶的盈亏映射：

def approximate(y: DblVector): Map[Array[Int], Double] = {
  val mapper = new HashMap[Int, Array[Int]]  //1
  val acc = new NumericAccumulator  //2
  propsList.map( _.toArray)
           .map( toArrayInt( _ ))  //3
           .map(ar => {
               val enc = encode(ar)  //4
               mapper.put(enc, ar)
               enc })
           .zip(y)  
           .foldLeft(acc)((acc,t) => {acc += (t._1,t._2);acc})//5
  acc.map(kv => (kv._1, kv._2._2/kv._2._1)) //6
     .map(kv => (mapper(kv._1), kv._2)).toMap
}

该方法创建一个 mapper 实例来索引桶数组（第1行），一个 NumericAccumulator 类型的累加器 acc 用于计算元组（每个桶上特征的出现次数，期权价格的增减总和）（第2行）。 toArrayInt 方法将每个期权属性的值转换为适当桶的索引（第3行），索引数组然后被编码（第4行）以生成状态的ID或索引。方法更新累加器，记录期权交易时段的出现次数和总盈亏（第5行），最后通过平均每个桶的盈亏来计算每个动作的奖励（第6行）。

def toArrayInt(feature: DblVector): Array[Int] = 
     feature.map(x => (nSteps*x).floor.toInt)

2.6 受限状态转换

每个状态都可能通过动作与任何其他状态相连，有两种方法可以减少搜索空间或动作/转换的数量：
- 静态约束：在模型实例化时定义动作/转换，状态转换图在模型的整个生命周期内固定。
- 动态约束：依赖动作的概率来阻止或阻碍状态转换。

测试用例使用静态约束，定义在作为 QLSpace 类参数传递的 neighbors 函数中：

val RADIUS = 4
val neighbors = (idx: Int, numStates: Int) => {

 def getProximity(idx: Int, radius: Int): List[Int] = {
    val idx_max = if(idx + radius >= numStates) numStates-1 else idx+ 
radius
    val idx_min = if(idx < radius) 0 else idx - radius
    Range(idx_min, idx_max+1).filter( _ != idx)
      .foldLeft(List[Int]())((xs, n) => n :: xs)
  }
  getProximity(idx, RADIUS).toList
}

neighbors 函数根据状态的ID idx 将动作数量限制为最多 RADIUS * 2 个状态，该函数作为闭包实现，需要在函数内或其外部作用域中定义 numStates 的值。

2.7 整合所有部分

最后是配置和执行Q学习算法的代码：

val stockPricePath = "resources/data/chap11/IBM.csv"
val optionPricePath = "resources/data/chap11/IBM_O.csv"

val MIN_TIME_EXP = 6; val APPROX_STEP = 3; val NUM_FEATURES = 4
val ALPHA = 0.4; val DISCOUNT = 0.6; val NUM_EPISODES = 202520
val src = DataSource(stockPricePath, false, false, 1) //1
val ibmOption = new OptionModel("IBM", 190.0, src, MIN_TIME_EXP, 
APPROX_STEP) //2

DataSource(optionPricePath, false, false, 1) extract match  {
case Some(v) => initializeModel (ibmOption, v)
…
}

客户端代码实例化了IBM股票的期权模型 ibmOption （第1行），一旦通过适当的数据源下载了期权的历史价格，就调用 initializeModel 方法（第2行）。

def initializeModel(ibmOption: OptionModel, oPrice: DblVector): 
QLearning[Array[Int]] {
   val fMap = ibmOption.approximate(oPrice) //3
   val input = new ArrayBuffer[QLInput]
   val profits = fMap.values.zipWithIndex
   profits.foreach(v1 => 
     profits.foreach( v2 => 
       input.append(new QLInput(v1._2, v2._2, v2._1-v1._1))))//4

   val goal = input.maxBy( _.reward).to
   val config = new QLConfig(ALPHA, DISCOUNT, EPISODE_LEN, NUM_
EPISODES, MIN_ACCURACY, getNeighbors)
   QLearning[Array[Int]](config, fMap , goal, input.toArray, fMap.
keySet)
}

initializeModel 方法生成近似映射 fMap （第3行），其中包含每个状态的盈亏。然后，该方法通过计算每个动作的源 v1 和目标 v2 的盈亏差来初始化策略的输入（第4行），目标初始化为奖励最高的动作（第5行），最后实例化 QLearning 类执行训练。

2.8 反目标状态

目标状态是分配奖励最高的状态，是奖励策略良好表现的启发式方法。然而，也可以定义一个分配惩罚最高或奖励最低的反目标状态，以引导搜索远离某些条件。

2.9 评估

除了函数近似外，训练集的大小也会影响状态数量。分布良好或较大的训练集能为近似创建的每个桶提供至少一个值。在这种情况下，训练集相当小，81个桶中只有34个有实际值，因此状态数量为34。

Q学习模型的初始化生成了奖励矩阵，奖励反映了期权价格的波动，由于期权价格的波动率高于标的证券，且奖励矩阵分布较分散，我们选择较小的学习率0.4来减少前一状态对新状态的影响，折扣率0.6则考虑到状态数量有限，不需要使用长状态序列来计算未来折扣奖励。训练策略在第一回合后生成了34个状态×34个状态的动作值矩阵 Q ，第一回合结束时状态之间的动作值分布反映了状态间动作的奖励分布。

综上所述，Q学习算法在期权交易中具有一定的应用价值，通过合理的配置和实现，可以帮助我们计算最佳交易策略，但同时也需要考虑数据规模、函数近似等因素对模型的影响。

Q学习算法及其在期权交易中的应用

3. 模型评估与可视化

3.1 奖励矩阵可视化

初始化Q学习模型生成的奖励矩阵可以通过图形进行可视化展示。在这个可视化中，xy平面代表状态之间的动作，x轴和y轴列出了状态的ID，z轴则衡量与每个动作相关联的实际奖励值。这个可视化有助于我们直观地观察奖励的分布情况，从而更好地理解期权交易中不同状态转换所带来的收益波动。

从奖励矩阵的分布来看，由于期权价格的波动率高于标的证券，奖励矩阵呈现出较为分散的特点。这意味着在期权交易中，不同状态之间的转换所带来的奖励差异较大，交易决策需要更加谨慎地考虑各种可能的状态转换。

3.2 动作值矩阵对比

在训练过程中，我们可以对比不同回合后生成的动作值矩阵 Q 。例如，在第一回合结束时，状态之间的动作值分布反映了状态间动作的奖励分布。第一回合通常是从一个随机选择的初始状态开始，经过一系列状态转换，最终到达目标状态。

我们可以将第一回合生成的动作值矩阵与经过20个回合训练后生成的矩阵进行对比。通过对比，我们可以观察到随着训练的进行，动作值矩阵的变化情况，进而了解模型的学习过程和效果。如果在多个回合的训练后，动作值矩阵逐渐收敛，说明模型正在稳定地学习到最佳策略；反之，如果矩阵仍然波动较大，可能需要调整训练参数或增加训练回合数。

4. 关键参数分析

4.1 学习率（alpha）

学习率 alpha 控制着新的奖励信息对旧的动作值的更新程度。在期权交易的Q学习模型中，由于奖励矩阵分布较为分散，我们选择了较小的学习率（如0.4）。这是因为较小的学习率可以减少前一状态对新状态的影响，使得模型在更新动作值时更加谨慎，避免因奖励的大幅波动而导致模型过度调整。

如果学习率设置过大，模型可能会对新的奖励信息反应过度，导致动作值频繁大幅变化，难以收敛到最佳策略；而如果学习率设置过小，模型的学习速度会变得非常缓慢，需要更多的训练回合才能达到较好的效果。

4.2 折扣率（gamma）

折扣率 gamma 用于衡量未来奖励的重要性。在我们的期权交易模型中，由于状态数量有限，不需要使用长状态序列来计算未来折扣奖励，因此选择了0.6的折扣率。

折扣率越大，模型越重视未来的奖励，会更倾向于寻找能够带来长期收益的策略；折扣率越小，模型则更关注当前的奖励。在实际应用中，需要根据具体的问题和数据特点来合理设置折扣率，以平衡短期和长期收益。

4.3 训练回合数（numEpisodes）

训练回合数 numEpisodes 决定了模型的训练次数。在我们的示例中，设置了202520个训练回合。足够的训练回合数可以让模型充分学习到各种状态下的最佳策略，但同时也会增加训练的时间和计算成本。

在实际应用中，我们可以通过观察模型的收敛情况来确定合适的训练回合数。如果在训练过程中，动作值矩阵在某个回合后基本不再变化，说明模型已经收敛，此时可以停止训练，避免不必要的计算资源浪费。

5. 总结与展望

5.1 总结

Q学习算法在期权交易中展现出了一定的应用潜力。通过使用Q学习算法，我们可以根据市场条件和交易数据计算出最佳的期权交易策略。在实现过程中，我们通过定义期权的属性、进行函数近似和指定状态转换约束等步骤，构建了一个完整的期权交易模型。

同时，我们也需要注意一些关键因素对模型的影响。例如，函数近似的粒度会影响状态数量和模型的准确性，训练集的大小和分布会影响模型的稳定性，而学习率、折扣率和训练回合数等参数的设置则直接关系到模型的学习效果和性能。

5.2 展望

虽然Q学习算法在期权交易中取得了一定的成果，但仍然存在一些可以进一步改进和扩展的地方。

• 更复杂的函数近似 ：目前我们采用的是简单的线性分类函数近似方法，未来可以考虑使用更复杂的函数近似方法，如神经网络，以提高模型的准确性和适应性。
• 引入更多特征 ：当前模型仅考虑了四个标准化特征，未来可以引入更多与期权价格相关的特征，如市场情绪、宏观经济指标等，以更全面地描述期权的状态。
• 动态约束优化 ：目前使用的是静态约束来减少搜索空间，未来可以探索动态约束的优化方法根据实时市场情况调整状态转换的概率，提高模型的灵活性和适应性。

以下是一个简单的mermaid流程图，展示了使用Q学习算法进行期权交易策略计算的主要步骤：

graph LR
    A[数据准备] --> B[定义期权属性]
    B --> C[函数近似]
    C --> D[指定状态转换约束]
    D --> E[初始化Q学习模型]
    E --> F[训练模型]
    F --> G[评估模型]
    G --> H[应用模型进行预测]

通过不断地改进和优化，Q学习算法有望在期权交易领域发挥更大的作用，为投资者提供更准确、更有效的交易策略。