29、数据插值与近似方法全解析

数据插值与近似方法全解析

1. 数据插值问题探讨

在数据处理中，插值是一项常见的操作，但并非所有情况都适合进行插值。有一些规则和要点需要我们注意：
- 插值的经验法则 ：如果无法预估插值后的值，就不要进行插值，应将分析局限于未插值的数据。
- 合适的插值理由
- 把不规则采样的自变量转换为均匀采样的自变量，以便使用需要均匀采样数据的算法。
- 对齐两个不同数据集的自变量，从而实现数据集之间的比较。
- 不恰当的插值理由 ：为了增加数据数量和填补大的数据空缺而进行插值，这种做法往往只是自欺欺人。

不同的插值方法各有优劣，下面是线性插值和三次插值的对比：
| 插值方法 | 优点 | 缺点 |
| ---- | ---- | ---- |
| 线性插值 | 结果具有局部性，仅依赖于相邻的值；能保留数据的整体范围 | 插值数据可能存在尖锐的转折点，不适合用于计算导数或功率谱 |
| 三次插值 | 极其平滑，适合用于计算导数和功率谱 | 不能保留数据的整体范围；结果具有非局部性，异常值可能导致振铃现象 |

在计算插值数据的功率谱时，也有一些需要注意的地方。虽然减小时间间隔 $\Delta t$ 看似能提高最大频率 $f_{max}$，但实际上结果是不可靠的。而且，插值大的数据空缺会在频谱峰值之间产生强相关性，使显著性检验变得复杂。

此外，还有一些具体的插值相关问题及操作：
- 问题 10.1 ：假设观测数据具有均匀方差 $\sigma_d^2$，求线性插值中估计数据的协方差矩阵。同时探讨插值数据是否具有恒定方差以及是否不相关。
- 问题 10.2 ：修改 edama_10_05 或 edapy_10_05 脚本，计算自相关函数在不同衰减率 $s$ 和频率 $\omega_0$ 下的估计值，并对结果进行分析。
- 问题 10.3 ：修改 edama_10_05 或 edapy_10_05 脚本，通过删除矩阵 $A$ 中的 $\sigma_d^2$ 项来计算克里金估计值，并将结果与原脚本的结果进行比较。
- 问题 10.4 ：修改 edama_10_05 或 edapy_10_05 脚本，使用协方差函数 $C_m[i,j] = \gamma^2 \cos(\omega_0 \tau) \exp(-[s^2 \tau^2])$（其中 $\tau = t_i - t_j$），并将真实时间序列和插值后的时间序列与原脚本的结果进行比较。
- 问题 10.5 ：修改 edama_10_10 或 edapy_10_10 脚本，在计算傅里叶变换之前，对 $x$ 和 $y$ 方向的数据进行锥形处理。使用二维锥形，它是 $x$ 方向和 $y$ 方向的汉明窗函数的乘积。
- 问题 10.6 ：估计 CAC 海表温度数据集中选定月度图像的功率谱密度，判断纬度和经度哪个方向具有更长波长的特征，并解释结果。

下面是这些操作的大致流程图：

graph TD
    A[开始] --> B[选择问题]
    B --> |问题 10.1| C[计算线性插值估计数据协方差矩阵]
    B --> |问题 10.2| D[修改脚本计算不同参数下估计值]
    B --> |问题 10.3| E[修改脚本删除项计算克里金估计值]
    B --> |问题 10.4| F[修改脚本使用新协方差函数]
    B --> |问题 10.5| G[修改脚本进行二维锥形处理]
    B --> |问题 10.6| H[估计功率谱密度并分析]
    C --> I[结束]
    D --> I
    E --> I
    F --> I
    G --> I
    H --> I

2. 近似方法的价值与应用

在数据分析中，“近似”并非贬义词。与数学追求精确不同，数据分析的结果准确性由方法误差（与基础理论及其计算相关的误差）和观测误差共同决定。当方法误差降低到远低于观测误差的水平时，进一步提高精度的意义不大。因此，合适的目标是开发误差可接受的方法，而非追求零误差的方法。

2.1 简单性的价值

使用精确理论并尽可能多保留有效数字进行计算，表面上看是一种安全的策略，但这种方法存在严重局限性。因为许多现实世界的现象难以用精确理论描述，而且精确解往往复杂、计算缓慢且缺乏灵活性。而近似方法能带来简单性、计算速度和适应性。

简单的方法结构易于理解，其一般行为可预测，能识别并避免潜在的问题。例如：
- 网格搜索法 ：用于寻找最小误差解，这种穷举搜索方法易于理解和编程。不过，当搜索范围选择不当或解的变化尺度小于网格间距时，可能会失败。
- 线性理论 ：形如 $Gm = d$ 的线性理论，矩阵 $G$ 虽然可能庞大复杂，但创建和解释起来较为直接。其最小二乘解在大多数情况下都能成功，只有在 $[G^T G]^{-1}$ 接近奇异时才需要添加先验信息进行修正。

近似方法还能提高计算速度，这在处理大型问题和实时应用中尤为重要。此外，一些近似方法还能适应数据特征的变化，适合融入机器学习技术。

2.2 多项式近似与泰勒级数

在指定点 $t_0$ 附近，多项式可以近似表示一个光滑函数 $y(t)$。通过构建一个多项式 $y_p(t)$，使其在该点的函数值、一阶导数、二阶导数等与 $y(t)$ 相同，随着匹配的导数阶数增加，多项式对函数的近似效果越来越好。

多项式 $y_p(t)$ 的表达式为：
$y_p(t) = c_0 + c_1 (t - t_0) + c_2 (t - t_0)^2 + c_3 (t - t_0)^3 + \cdots$
其导数为：
$\frac{dy_p}{dt} = c_1 + 2c_2 (t - t_0) + 3c_3 (t - t_0)^2 + \cdots$
$\frac{d^2y_p}{dt^2} = 2c_2 + 6c_3 (t - t_0) + \cdots$

当在点 $t_0$ 处计算时，有：
$y_p(t_0) = c_0$
$\frac{dy_p}{dt}\big| {t_0} = c_1$
$\frac{d^2y_p}{dt^2}\big| {t_0} = 2c_2$

选择 $y_p(t)$ 使其在 $t_0$ 处与 $y(t)$ 的值和导数相同，可解得 $c_i$ 的值，代入 $y_p(t)$ 得到：
$y_p(t) = y(t_0) + \frac{dy}{dt}\big| {t_0} (t - t_0) + \frac{1}{2} \frac{d^2y}{dt^2}\big| {t_0} (t - t_0)^2 + \cdots$

当项数无限增加时，该多项式收敛于光滑函数 $y(t)$，这就是泰勒定理，上述表达式就是函数 $y(t)$ 的泰勒级数表示。泰勒级数在许多近似方法中起着关键作用。

2.3 小数字近似

在点 $t = t_0$ 附近，使用泰勒级数的前两项来近似函数是一种重要的近似方法，因为高阶项通常可以忽略不计。例如：
- 对于函数 $y_n(t) = (1 - t)^n$，在 $t_0 = 0$ 处，$y(t_0) = 1$，$\frac{dy}{dt}\big|_{t_0} = -n$，代入泰勒级数可得：
$(1 - t)^n \approx 1 - nt$
这个近似非常准确，如 $(1 + 0.04)^{\frac{1}{2}} = 1.0198$，而 $1 + \frac{1}{2} \times 0.04 = 1.02$，误差仅为 $0.02\%$。
- 对于 $\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 在 $t_0 = 0$ 附近，有：
$\sin(t) \approx t$
$\cos(t) \approx 1 - \frac{1}{2}t^2$

这些小数字近似可用于简化和加速数据分析问题。

2.4 小数字近似在球面距离计算中的应用

在处理地理数据时，计算球面上两点间的大圆弧距离 $r$ 是一个常见问题。精确公式 $\cos r = \sin \lambda_1 \sin \lambda_2 + \cos \lambda_1 \cos \lambda_2 \cos \Delta L$ 需要计算六个三角函数，计算量较大。但当两点距离较近时，可使用小数字近似来简化计算。

首先定义纬度差 $\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1$ 和平均纬度 $\bar{\lambda} = \frac{1}{2} (\lambda_2 + \lambda_1)$，将精确公式改写为：
$\cos r = \frac{1}{2} \cos \Delta \lambda - \frac{1}{2} \cos \bar{\lambda} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos \Delta \lambda \cos \Delta L + \cos 2\bar{\lambda} \cos \Delta L - \frac{1}{2} \cos \Delta L$

由于 $\Delta \lambda$、$\Delta L$ 和 $r$ 都很小，应用小数字近似并经过大量代数运算后，得到近似公式：
$r^2 \approx \Delta \lambda^2 + \Delta L^2 \cos 2\bar{\lambda} - \Delta \lambda^2 \Delta L^2 (\frac{1}{4} - \frac{\cos 2\bar{\lambda}}{6})$

该公式右边前两项表示平面上的欧几里得距离，最后一项用于修正地球表面的曲率。计算 $r$ 只需计算一个余弦函数和一个平方根函数，与精确公式相比，计算量减少了约三分之一，并且在一定距离范围内近似效果非常好。

2.5 小数字近似在方差估计中的应用

在估计模型参数的非线性函数的方差时，小数字近似也很有用。例如，假设最小二乘法估计出角频率 $m_{est}$ 及其方差 $\sigma_m^2$，而我们想得到周期 $T = \frac{2\pi}{m}$ 的置信区间。精确求解这个问题需要假设 $m$ 服从正态分布，计算 $p(T)$ 的概率密度函数，再计算其均值和方差，过程复杂且耗时。

当 $m_{est} \gg \sigma_m$ 时，可使用小数字近似。设 $m = m_{est} + \Delta m$，$T = T_{est} + \Delta T$，代入 $T = \frac{2\pi}{m}$ 可得：
$T = \frac{2\pi}{m_{est} + \Delta m} \approx \frac{2\pi}{m_{est}} (1 - \frac{\Delta m}{m_{est}}) = \frac{2\pi}{m_{est}} - \frac{2\pi \Delta m}{m_{est}^2}$

则 $\Delta T \approx - \frac{2\pi}{m_{est}^2} \Delta m$，根据误差传播规则，$\Delta T$ 的方差为：
$\sigma_{\Delta T}^2 = (\frac{2\pi}{m_{est}^2})^2 \sigma_{\Delta m}^2$
由于 $m$ 和 $\Delta m$、$T$ 和 $\Delta T$ 的方差分别相同，所以 $\sigma_T^2 = (\frac{2\pi}{m_{est}^2})^2 \sigma_m^2$

例如，当 $m_{est} = 2\pi \times 1.3 \text{ rad/s}$，$\sigma_{\omega} = 0.2 \text{ rad/s}$ 时，可得到 $T_{est} = 0.769 \text{ s}$，$\sigma_T = 0.019 \text{ s}$，这些估计值与数值模拟结果吻合良好。

这些小数字近似的应用流程可以总结如下：

graph TD
    A[确定问题] --> B[判断是否适用小数字近似]
    B --> |是| C[选择合适的函数和点进行近似]
    C --> D[计算近似值]
    D --> E[应用近似结果解决问题]
    B --> |否| F[使用其他方法]

3. 多维泰勒级数与相关应用

在典型的数据分析问题中，预测数据 $d_{pre}(m)$ 是模型参数 $m$ 的函数。多维泰勒级数是一维泰勒级数的直接推广，其表达式为：
$d_{pre,i}(m) = d_{pre,i}(m_0) + \sum_{j = 1}^{M} \frac{\partial d_{pre,i}}{\partial m_j}\big| {m_0} (m_j - m {0j}) + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{M} \sum_{k = 1}^{M} \frac{\partial^2 d_{pre,i}}{\partial m_j \partial m_k}\big| {m_0} (m_j - m {0j}) (m_k - m_{0k}) + \cdots$

与一维情况类似，该级数包含常数项、线性项、二次项等。一阶导数构成一个矩阵 $G^{(0)}$：
$G^{(0)} {ij} = \frac{\partial d {pre,i}}{\partial m_j}\big|_{m_0}$
这个矩阵被称为线性化数据核。

当考虑模型参数的标量函数，如预测误差 $E(m)$ 时，泰勒级数形式为：
$E(m) = E(m_0) + \sum_{j = 1}^{M} \frac{\partial E}{\partial m_j}\big| {m_0} (m_j - m {0j}) + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{M} \sum_{k = 1}^{M} \frac{\partial^2 E}{\partial m_j \partial m_k}\big| {m_0} (m_j - m {0j}) (m_k - m_{0k}) + \cdots$

一阶导数是一个向量 $b^{(0)}$，二阶导数是一个矩阵 $B^{(0)}$：
$b^{(0)} j = \frac{\partial E}{\partial m_j}\big| {m_0}$
$B^{(0)} {jk} = \frac{\partial^2 E}{\partial m_j \partial m_k}\big| {m_0}$
$b^{(0)}$ 和 $B^{(0)}$ 分别被称为梯度向量和曲率矩阵。

上述公式用向量表示为：
$d_{pre} \approx d_{pre}^0 + G^{(0)} \Delta m$
$E \approx E_0 + (b^{(0)})^T \Delta m + \frac{1}{2} (\Delta m)^T B^{(0)} \Delta m$
其中 $d_{pre}^0 = d_{pre}(m_0)$，$E_0 = E(m_0)$，$\Delta m = m - m_0$。

4. 小数字近似在协方差估计中的应用

估计模型参数非线性向量函数 $T(m)$ 的协方差矩阵 $C_T$ 时，可将小数字近似应用于该问题。首先将函数 $T(m)$ 在 $m_{est}$ 点展开为泰勒级数，并只保留前两项，得到线性近似：
$\Delta T \approx M \Delta m$
其中 $\Delta m = m - m_{est}$，$\Delta T = T - T(m_{est})$，$M_{ij} = \frac{\partial T_i}{\partial m_j}\big| {m {est}}$。

根据标准误差传播规则，可得 $C_T \approx M C_m M^T$，其中 $C_m$ 是模型参数 $m$ 的协方差矩阵。

5. 迭代最小二乘法求解非线性问题

对于误差函数 $E(m)$ 及其导数，只要理论 $g(m) = d_{pre}(m)$ 已知，无论其是线性还是非线性，都可以进行计算。因此，可以将最小二乘法原理应用于非线性问题，即找到使误差 $E(m)$ 最小的解 $m_{est}$，也就是求解 $\frac{\partial E}{\partial m_i} = 0$。但这组非线性方程通常难以精确求解。

如果能猜测一个接近最小误差解的试验解 $m^{(0)}$，就可以利用泰勒定理将 $E(m)$ 近似为以该点为中心的低阶多项式。若 $m^{(0)}$ 足够接近最小误差解，二次近似就足够了。对 $E(m)$ 的表达式求导并令结果为零，可得：
$0 \approx b^{(0)} + B^{(0)} \Delta m$
则 $\Delta m \approx - (B^{(0)})^{-1} b^{(0)}$

这样就可以得到一个更接近最小误差解的更新解 $m^{(1)} = m^{(0)} + \Delta m$。这个过程可以无限迭代，在有利的情况下，序列 $m$ 会收敛到最小误差解，这就是牛顿法。不过，该方法的一个局限性是需要计算曲率矩阵 $B$，这可能具有一定难度。

在特殊的线性理论 $d_{pre} = Gm$ 中，误差为：
$E = (d_{obs} - Gm)^T (d_{obs} - Gm) = d_{obs}^T d_{obs} - 2 d_{obs}^T Gm + m^T G^T G m$

通过与上述公式对比可得：
$m^{(0)} = 0$
$b^{(0)} = - 2 G^T d_{obs}$
$B^{(0)} = 2 G^T G$

将这些值代入 $\Delta m$ 的公式，可得到熟悉的最小二乘解 $\Delta m \approx [G^T G]^{-1} G^T d_{obs}$。这表明可以通过近似方法将非线性问题转化为线性问题来求解。

下面是迭代最小二乘法求解非线性问题的步骤总结：
1. 猜测一个接近最小误差解的初始试验解 $m^{(0)}$。
2. 计算误差函数 $E(m)$ 及其一阶导数 $b^{(0)}$ 和二阶导数 $B^{(0)}$。
3. 计算 $\Delta m \approx - (B^{(0)})^{-1} b^{(0)}$。
4. 更新解 $m^{(1)} = m^{(0)} + \Delta m$。
5. 判断是否满足收敛条件（如 $\vert E(m^{(1)}) - E(m^{(0)}) \vert < \epsilon$，其中 $\epsilon$ 是一个小的正数），若不满足则返回步骤 2 继续迭代，直到满足收敛条件为止。

其流程可以用以下 mermaid 流程图表示：

graph TD
    A[开始] --> B[猜测初始解 m(0)]
    B --> C[计算 E(m), b(0), B(0)]
    C --> D[计算 Δm = - (B(0))^(-1) b(0)]
    D --> E[更新解 m(1) = m(0) + Δm]
    E --> F[判断是否收敛]
    F --> |是| G[输出解 m(1)]
    F --> |否| C
    G --> H[结束]

综上所述，在数据分析中，插值和近似方法都有着重要的应用。插值方法可以处理数据采样问题，但需要根据具体情况选择合适的方法；而近似方法则能在保证一定精度的前提下，提高计算效率和适应性，为解决复杂的数据分析问题提供了有效的途径。