14、最小二乘法与先验信息：从理论到实践的全面解析

最小二乘法与先验信息：从理论到实践的全面解析

在数据分析领域，准确估计模型参数是一个关键问题。结合观测数据和先验信息，能使模型参数的估计更加准确和可靠。本文将深入探讨相关的理论和方法，包括正态概率密度函数的乘积、广义最小二乘法、数据协方差的作用、平滑性作为先验信息以及稀疏矩阵的应用。

1. 正态概率密度函数的乘积

在处理概率密度函数时，我们常常需要计算其均值，以此作为模型参数的最佳估计。在深入研究更复杂的问题之前，我们需要先探讨正态概率密度函数乘积的重要问题。

考虑两个多元正态概率密度函数：
[
p_A(m) \propto \exp\left{-\frac{1}{2}(Am - Am_A)^T C_A^{-1}(Am - Am_A)\right}
]
[
p_B(m) \propto \exp\left{-\frac{1}{2}(Bm - Bm_B)^T C_B^{-1}(Bm - Bm_B)\right}
]

我们的目标是确定它们的乘积 ( p_C(m) )，即：
[
p_C(m) \propto p_A(m)p_B(m) \propto \exp\left{-[m - m_C]^T C_C^{-1}[m - m_C]\right}
]

通过一系列推导，我们可以得到组合均值 ( m_C ) 和组合协方差 ( C_C ) 的表达式：
[
C_C^{-1} = A^T C_A^{-1} A + B^T C_B^{-1} B
]
[
m_C = (A^T C_A^{-1} A + B^T C_B^{-1}