11、环境数据分析中的线性模型

环境数据分析中的线性模型

1. 问题引入与基础概念

在环境数据分析中，我们常常会遇到各种不同的问题，例如评估温度是否逐年上升、温度是否存在周期性波动，或者比较夏季和冬季的温度差异等。这些看似不同的数据分析技术，在数学上却有着共同的结构——它们都是线性模型的特殊情况。

线性模型具有重要的优势：
- 任何线性模型对应的数据分析问题都能立即得到解决，因为存在通用的求解方法。
- 数据误差传播到模型不确定性的情况可以轻松计算。
- 可以系统地分析两种数据分析技术之间的异同。

在数据分析中，我们的目标是通过对数据的系统检查来获取知识，这里的知识主要以数值形式呈现，即模型参数。数据和模型参数通过定量模型相联系，其一般形式为：
[
\begin{cases}
d_1 = g_1(m_1, m_2, \cdots, m_M) \
d_2 = g_2(m_1, m_2, \cdots, m_M) \
\vdots \
d_N = g_N(m_1, m_2, \cdots, m_M)
\end{cases}
]
或者写成向量形式 (d = g(m))，其中 (d) 是长度为 (N) 的列向量表示数据，(m) 是长度为 (M) 的列向量表示模型参数，(g(m)) 是定量模型。但由于观测噪声的存在，模型的预测值可能与观测值不匹配，此时可将其写成 (d = g(m) + n)，其中 (n) 是长度为 (N) 的列向量表示测量噪声。

在很多重要情况下，(g(m)) 是线性的或者可以近似为线性，此时上述方程简化为线性模型：
[
\begin{cases