3、数字系统基础：数制转换、运算及符号表示

数字系统基础：数制转换、运算及符号表示

1. 数制的基数选择

数制的基数是任意选择的，通常会根据其应用的物理系统的特定方面来确定。例如，十进制（基数为 10）对应我们的 10 根手指，二进制（基数为 2）对应开关的 2 种状态。若一个物理系统有 3 种独特模式，选择基数为 3 的数制，那么十进制数 3 的三进制表示是多少呢？
答案是 C，因为(3_{10} = 1\times3^1 + 0\times3^0 = 10_3)。

2. 数制转换

2.1 转换为十进制

每个数位的值取决于其本身的值和所在的位置。每个位置的权重基于所使用数制的基数，十进制中每个位置的权重定义为 (Weight = Radix^p)。
为了求出一个数的十进制值，需将每个数位的值乘以其位置权重，然后将所有乘积相加，通用公式为：
(Total Decimal Value = \sum_{i = p_{min}}^{p_{max}} d_i \cdot radix^i)
其中，(p_{max}) 表示包含大于 0 的数字的最高位置编号，(p_{min}) 表示包含大于 0 的数字的最低位置编号。

例如，对于十进制数 132.654，各数位的权重及计算过程如下：
| 数位 | 数值 | 权重 | 乘积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 百位 | 1 | (10^2) | 100 |
| 十位 | 3 | (10^1) | 30 |
| 个位 | 2 | (10^0) | 2 |
| 十分位 | 6 | (10^{-1}) | 0.6 |