Fourier变换、Fourier余弦变换和Fourier正弦变换

最新推荐文章于 2024-01-06 15:30:49 发布

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文章标签：傅立叶分析

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文章详细介绍了Fourier变换的数学表达式，包括其逆变换，以及Fourier余弦变换和正弦变换的定义和逆变换公式。这些概念在信号处理和数学分析中具有重要意义。

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Fourier变换与逆变换

Fourier变换（纯数学形式）：

$F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF\left[ f\left( t \right) \right]=\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right)}{{e}^{-i\omega t}}dt$

Fourier逆变换（纯数学形式）：

$f(t)=12π∫−∞∞F(ω)eiωtdωf\left( t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{F\left( \omega \right)}{{e}^{i\omega t}}d\omega$

Fourier余弦变换与逆变换

Fourier余弦变换（纯数学形式）：

$F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdt=2∫0∞f(t)cos⁡(ωt)dtF\left[ f\left( t \right) \right]=\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right)}{{e}^{-i\omega t}}dt=2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\cos \left( \omega t \right)dt$
令 $Fc[f(t)]=2∫0∞f(t)cos⁡(ωt)dt{{F}_{c}}\left[ f\left( t \right) \right]=2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\cos \left( \omega t \right)dt$

Fourier余弦逆变换（纯数学形式）：

$=1π∫0∞Fc(ω)cos⁡(ωt)dω\begin{align} & f\left( t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{F\left( \omega \right)}{{e}^{i\omega t}}d\omega \\ & \text{ }=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\cos \left( \omega t \right)dt \right){{e}^{i\omega t}}d\omega } \\ & \text{ }=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\left( 2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\cos \left( \omega t \right)dt \right)\cos \left( \omega t \right)d\omega } \\ & \text{ }=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\left( 2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\cos \left( \omega t \right)dt \right)\cos \left( \omega t \right)d\omega } \\ & \text{ }=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{{{F}_{c}}\left( \omega \right)}\cos \left( \omega t \right)d\omega \\ \end{align}$

Fourier正弦变换与逆变换

Fourier正弦变换（纯数学形式）：

$F[f(t)]=∫−∞∞f(t)e−iωtdt=−2i∫0∞f(t)sin⁡(ωt)dtF\left[ f\left( t \right) \right]=\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right)}{{e}^{-i\omega t}}dt=-2i\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\sin \left( \omega t \right)dt$
令 $Fs[f(t)]=2∫0∞f(t)sin⁡(ωt)dt{{F}_{s}}\left[ f\left( t \right) \right]=2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\sin \left( \omega t \right)dt$

Fourier正弦逆变换（纯数学形式）：

$=1π∫0∞Fs(ω)sin⁡(ωt)dω\begin{align} & f\left( t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{F\left( \omega \right)}{{e}^{i\omega t}}d\omega \\ & \text{ }=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\left( -2i\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\sin\left( \omega t \right)dt \right){{e}^{i\omega t}}d\omega } \\ & \text{ }=\frac{1}{2\pi }i\int_{-\infty }^{\infty }{\left( -2i\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\sin\left( \omega t \right)dt \right)\sin \left( \omega t \right)d\omega } \\ & \text{ }=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\left( 2\int_{0}^{\infty }{f\left( t \right)}\sin\left( \omega t \right)dt \right)\cos \left( \omega t \right)d\omega } \\ & \text{ }=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{{{F}_{s}}\left( \omega \right)}\sin\left( \omega t \right)d\omega \\ \end{align}$
若 $f (t)$ 是偶函数，则
$Fc[f(t)]=F[f(t)]{{F}_{c}}\left[ f\left( t \right) \right]=F\left[ f\left( t \right) \right]$
若 $f (t)$ 是奇函数，则
$Fs[f(t)]=iF[f(t)]{{F}_{s}}\left[ f\left( t \right) \right]=iF\left[ f\left( t \right) \right]$