40、傅里叶分析与散射理论详解

傅里叶分析与散射理论详解

1. 傅里叶变换基础

1.1 实信号的傅里叶变换特性

若 (f) 是实信号，则有 ([F(\omega)]^ = F(-\omega))，对于实函数，相关函数 (C_{g,f}(\omega)) 满足 (C_{g,f}(\omega) = G(\omega)F(-\omega) = G(\omega)[F(\omega)]^ )。

1.2 多维傅里叶变换

1.2.1 变换对关系

(d) 维傅里叶变换对满足以下关系：
[f(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathbb{R}^d}\left{\int_{\mathbb{R}^d}f(\mathbf{r}’)e^{-i(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}’)}d\mathbf{r}’\right}e^{i(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r})}d\mathbf{q}]
同时，其定义为：
[F(\mathbf{q}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d}f(\mathbf{r})e^{-i(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r})}d\mathbf{r}]
[f(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2}}\int_{\mathbb{R}^d}F(\mathbf{q})e^{i(\mathbf{q}\cdot\mathbf{r})}d\mathbf{q}]
和一维情况类似，傅里叶变换存在其他定义方式，只要满足上述关系，选择是