11、量子傅里叶变换（QFT）与离散傅里叶变换（DFT）的原理及应用

量子傅里叶变换（QFT）与离散傅里叶变换（DFT）的原理及应用

1. DFT与QFT的基本特性

1.1 DFT输出的特性

仔细观察图7 - 10中两个峰值的底部，会发现它们被一些非零的小值所环绕。由于DFT输出的位数是有限的，即使信号实际上只包含单一频率，我们也能看到具有非零宽度的峰值。QFT也可能出现类似情况。

DFT能将信号转换到频域，使我们可以看到信号中包含的所有频率成分。例如，若输入信号在1秒的采样时间内完成了8次全振荡，那么我们预期它的频率为8Hz，而DFT的输出寄存器也会精确地返回这个结果。

1.2 实信号和复信号输入的DFT

在观察DFT输出时，除了预期的8Hz频率外，还会在频域中看到一个明显的镜像峰值。这是任何实信号（即样本均为实数，大多数常规信号都是如此）DFT的特性。在这种情况下，DFT结果中只有前半部分是有用的。例如，对于一个返回256个点的DFT，我们只需关注前256 / 2 = 128个点，之后的部分是前半部分的镜像。

若使用复信号作为输入，就不会出现这种对称效应，DFT输出的256个数据点都将包含不同的信息。

1.3 实信号和复信号输入的QFT

QFT在处理实信号和复信号输入时也有类似的情况。在之前的QFT示例中，由于信号是通过输入寄存器状态的相对相位编码的，是复信号，所以没有出现对称效应，输出寄存器中只出现了一个对应输入频率的“峰值”。

但如果将信号编码在QPU输入寄存器的幅度中，这个输入信号就是完全实的。对这样的实输入状态应用QFT，输出寄存器会出现与传统DFT类似的镜像效应。因此，我们在解释QFT结果时，需要考虑输入