BestCoder Round #68 (div.2) 1003.graph (DP+矩阵快速幂)

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矩阵快速幂

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本文介绍如何使用矩阵快速幂解决给定向图中从某一点出发，在一定时间内到达所有点的概率问题。通过构建初始01矩阵并进行幂运算，得到最终概率矩阵。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5607

题意：给一个有向图，点数n（<=50），用邻接矩阵表示，每分钟走一步，每走一步等概率的到达和当前节点相邻的节点，有q（<=20）个查询，每个查询需要你回答从u点出发k（<=1e9）分钟后到达每一个点的概率。

解法：典型的矩阵快速幂。

初始01矩阵第 i 列所有值全部乘以 i 点出度的关于mod的逆元，可得到了初始矩阵。

初始矩阵中的第 i 列为从 i 节点出发0分钟后到达每一个点的概率。k分钟时，邻接矩阵为初始01矩阵的k次幂。输出第u列的值即可。

AC代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=55;
const int maxm=55;

struct Matrix{
    int n,m;
    int a[maxn][maxm];
    void init(int r,int c){
        n=r;   m=c;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void print(){
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++)
                printf("%d ",a[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b) {
        Matrix tmp;
        tmp.init(n,b.m);
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<b.m;j++)
                for(int k=0;k<m;k++){
                    tmp.a[i][j]+=(long long)1*a[i][k]*b.a[k][j]%mod;
                    tmp.a[i][j]%=mod;
                }
        }
        return tmp;
    }
};

Matrix Mpow_mod(LL n,Matrix a){
	Matrix ret;
	ret.init(a.n,a.n);
	for(int i=0;i<ret.n;i++)
        ret.a[i][i]=1;
	while(n){
		if(n&1){
			ret=ret*a;
		}
		a=a*a;
		n/=2;
	}
	//ret.print();
	return ret;
}

LL fpow(LL a,LL n){
    LL ret=1;
    while(n){
        if(n&1)  ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n/=2;
    }
    return ret;
}

Matrix aa,bb,cc;
int tot[55],mem[55][55];

int main (){
    int n,m,x,y,q,u,k;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        memset(mem,0,sizeof(mem));
        memset(tot,0,sizeof(tot));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            x--;   y--;
            mem[x][y]=1;
            tot[x]++;
        }
        aa.init(n,n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                aa.a[i][j]=fpow(tot[i],mod-2)*(LL)mem[i][j]%mod;
        //aa.print();
        scanf("%d",&q);
        while(q--){
            scanf("%d%d",&u,&k);
            u--;
            //cout<<u<<"  "<<k<<endl;
            bb=Mpow_mod(k,aa);
            for(int i=0;i<n;i++)
                printf("%d ",bb.a[u][i]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}
/*
3 2
1 2
1 3
1
1 1
*/