Codeforces Round #334 (Div. 2) D. Moodular Arithmetic 思维

最新推荐文章于 2022-11-22 23:15:14 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-22 23:15:14 发布 · 397 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

CF 同时被 3 个专栏收录

8 篇文章

订阅专栏

思维

4 篇文章

订阅专栏

————数学————

2 篇文章

订阅专栏

本文深入解析了在特定条件下，函数选择方式的数量问题。通过详细阐述不同情况下的求解方法，揭示了数学之美在算法难题解决中的应用，特别聚焦于代码力竞赛中的一道经典题目的解析。

题目链接：http://codeforces.com/contest/604/problem/D

题意：给定p ，k（p为奇质数）。一函数f（x）定义域和值域都为【0，p-1】，且满足f（k*i % p）==k*f（i）%p。问f（x）有多少种选择方式。

解法：

k==0时，只需满足f（0）==0，故ans=p^(p-1)；

k==1时，f（x）==f（x），ans=p^p；

k>1时，有两种解法:

1.f(0)=0,对于其他的值，当f（x）确定时，f（k*x%p）也随之确定，f（k*k*x%p）也随之确定...相当于【1，p-1】被分为r个小环，确定每个环可以任选一个数字，ans=p^r。可以直接用dfs来实现。

2.（这种方法如何证明的不知道，留个坑）。r可以被（p-1）整除，即相当于找一个最小的len，使得（p-1）%len==0 && p^len%p==1，此时r=（p-1）/len。这种方法要快于上面的方法。

方法1的代码（31ms）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int mod = 1e9 +7;

LL fpow(LL x, int n){
    LL ret = 1;
    while (n){
        if (n&1) ret = ret*x%mod;
        x = x*x%mod;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int mem[1000005];

void dfs(int x){
    if(x==-1)  return ;
    int cur=mem[x];
    mem[x]=-1;
    dfs(cur);
}

int main (){
    int p,k;
    while(scanf("%d%d",&p,&k)!=EOF){
        if(k<=1){
            if(k==0)    printf("%d\n",fpow(p,p-1));
            else        printf("%d\n",fpow(p,p));
            continue ;
        }
        for(int i=0;i<p;i++)
            mem[(LL)k*i%p]=i;
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<p;i++)
        if(mem[i]!=-1){
            cnt++;
            dfs(i);
        }
        printf("%d\n",fpow(p,cnt));

    }
    return 0;
}

方法2（15ms）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MOD 1e9 + 7

long long power(long long a, long long b, long long m) {
	long long c = 1;
	for(; b; b >>= 1) {
		if(b & 1) {
			c = (c * a) % m;
		}
		a = (a * a) % m;
	}
	return c;
}

long long solve(long long p, long long k) {
	long long ord, i;

	switch(k) {
		case 0:
		return power(p, p-1, MOD);
		case 1:
		return power(p, p, MOD);
	}
	ord = p - 1;
	for(i = 2; i < ord; i++) {
		if(ord % i == 0) {
			if(power(k, ord / i, p) == 1) {
				ord = ord / i;
				i--;
			}
		}
	}
	return power(p, (p - 1) / ord, MOD);
}

int main() {
	long long p, k;

	scanf("%I64d%I64d", &p, &k);
	printf("%I64d\n", solve(p, k));

	return 0;
}