bzoj 2669 状压dp 容斥原理

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容斥原理

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本文介绍了一种使用动态规划和深度优先搜索解决矩阵填充计数问题的方法，具体为在一个n*m的矩阵中，根据特定条件计算合法填充1到n*m数字的方案数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：一个 $n*m$ 的矩阵，填1到 $n*m$ 的数，有的位置必须小于八连通的相邻位置，求方案数。

设 $f[i][j]$ 表示填到i，已经填完的局部最小值的集合为j的方案数。
设 $cnt[j]$ 表示对于局部最小值的集合j，不与除j外局部最小值的集合相邻的点的个数。

$f[i][j]=f[i-1][j]*(cnt[j]-i+1)+\sum{f[i][j-k]}$ (j集合中有元素k)

这样没有考虑除j集合外的点成为局部最小值的情况，深搜容斥一下就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 12345678
int n,m,sum,ans;
int d[5]={-1,0,1};
char s[11][11];
int pos[11][11],f[29][(1<<9)+10],cnt[(1<<9)+10];
int cal(int x)
{
    for(int i=0;i<1<<x;i++)
    {
        cnt[i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++)
            {
                int flag=1;
                for(int t=0;t<3;t++)
                    for(int w=0;w<3;w++)
                        if(s[j+d[t]][k+d[w]]=='X'&&(!(i>>pos[j+d[t]][k+d[w]]-1&1)))
                            flag=0;
                cnt[i]+=flag;
            }
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
        for(int j=0;j<1<<x;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j]*(cnt[j]-i+1)%mod;
            for(int k=1;k<1<<x;k<<=1)
                if(j&k)(f[i][j]+=f[i-1][j-k])%=mod;
        }
    return f[n*m][(1<<x)-1];
}
void dfs(int x,int y,int cnt)
{
    if(x==n+1)
    {
        if((cnt-sum)&1)(ans-=cal(cnt))%=mod;
        else (ans+=cal(cnt))%=mod;
        return;
    }
    int nx=x,ny=y+1;
    if(ny==m+1)ny=1,nx++;
    if(s[x][y]=='X')
    {   
        pos[x][y]=cnt+1,dfs(nx,ny,cnt+1);
        pos[x][y]=0;
    }
    else
    {
        dfs(nx,ny,cnt);
        int flag=0;
        for(int i=0;i<3;i++)
            for(int j=0;j<3;j++)
                if(s[x+d[i]][y+d[j]]=='X')flag=1;
        if(!flag)
        {
            s[x][y]='X';pos[x][y]=cnt+1;
            dfs(nx,ny,cnt+1);
            pos[x][y]=0;s[x][y]='.';
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("tt.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s[i]+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='X')
            {
                sum++;
                if(s[i][j-1]=='X'||s[i-1][j]=='X'
                ||s[i-1][j-1]=='X'||s[i-1][j+1]=='X')
                    return puts("0"),0;
            }
    }
    dfs(1,1,0);
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}