个人对高等数学极限的理解1

极限的重要性

    从大学到毕业，到工作再到研究生，极限在高等数学中起着举足轻重的作用。当然本人在工作中为了考研也要读高数滴。极限是高数中所有树枝的一个树根，也是打开高数大门的钥匙（这些都是屁话，当然知道，但还是要说）。

极限研究的对象是谁？

极限研究的对象是函数。

1. 函数是什么？
   在我看来，函数就是自变量$x$（或者其他什么字母都行，在理解过程中可以是任意字母，但是对于从我国学习的整个系统中，用$x$代表自变量还是收到广大师生接受的）一出去就永不回头的“箭”，映射到一个唯一的函数值$y$（或者说因变量都行，只是起一个名字，但是概念必须在！），在这个过程中有一个映射关系$f$。要想知道两个函数是否是同一个函数，自变量$x$的取值范围（定义域）、函数值$y$的取值范围（值域）、对应关系$f$都有一模一样，两个函数才算是同一个函数。

2. 为什么研究的是函数？
   最早的极限概念的萌芽，和函数并没有几毛钱关系，甚至和微积分也没有几毛钱关系。最直观的理解是多边形无限接近圆求圆周长的情况，怎么说，圆的值受到圆周率$\pi$，这个无理数的影响，它是一个无限的数。而数学界是以函数的概念发展起来的，函数值也有无限的数这样的情况，在理论上是一个确定的值，但是由于无理数的无限又没法精确描述，从而把极限用到了函数值，也就是函数当中。（个人理解勿喷）

3. 我们学习的高等数学（微积分）
   我们现在学的是高等数学（或者说是微积分）是经过几代的天才数学家们不断的分析和总结中才成书的，所以高等数学这本书的原始作者都是数学界的大佬（可惜主要都在欧洲，那时的中国你们懂的）。在牛顿这位----我们姑息称他为大佬的《自然哲学与数学原理》中提到了极限的概念，但是他自己也说不清楚极限是个啥玩意儿，就是觉得没有不行，他总是把$0$和无穷小划等号，其他数学家说他荒谬吧也没错。后来的微积分的集大成者柯西盖棺定论微积分，才是我们现在所学的微积分体系，我们现在书本上用的极限的严格定义是这个叫魏尔斯特拉斯老头，给弄的，描述得好，但是给学习的人很多痛苦。

极限扮演的角色

用来定义其他（微积分中）重要概念的方法，通往微分和积分的桥梁。

1. 从我们的书写方式开始说起
   我们最普通的书写方式：$$A=limf$$先不用理会怎么趋向的，在函数$f$前面加$lim$极限算法符，说明极限对函数做了一个运算（或者说操作）这个等式才会成立。去掉$lim$符号，可以写成如下形式：
   $$A=f+o(x)$$这个式子在许多的定义推导过程中都会用到，其中的$o(x)$是一个极其重要的东西，是一个要多小有多小的数，正是因为有了这个才有了极限的真正意义。
   通熟地讲，什么叫极限？答：对于无穷小：你任意给我一个数我都能给出比你给的数还要小！（$\lim x=x_0$）；对于无穷大：你任意给我一个数我都能给出你给的数还要大（$\lim x=\infty$）；对于极限等于某个数：你任意给我一个不等于A的数我都能给出你给的数还要接近A。（比如A的值是3，你给的数是3.00000000002这个数不等于3，但是很接近3，我可以给你3.0000000000001这个数，这个数同样也不等于3，也更接近3，比你的3.00000000002更接近3）。现在回到$x_0=x+o(x)$这个式子中$o(x)$这个数就是上面例子中的3.00000000002-3=0.00000000002这个数，同样也等于3.0000000000001-3=0.0000000000001这个数，所以说$o(x)$不是一个具体的数，而是任意小的数更直观的说，是一个记号。

从以上分析可以得到：极限是一个数无限接近另一个确定值的概念，或者说逼近更准确。同时我们根据以上分析，在尝试解释函数的极限前，可以得到这样的一个大前提：

自变量$x$的趋向情况（就是极限符号$\underset{x\to x_0}{\lim }$那个箭头"$\to$"）,本身也是一个极限的概念，只是为了方便起见，直接用“$\to$”表示而已。

现在可以我们尝试解释一个具体的极限定义：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$
首先我们要明白$x$与$x_0$之间差了$o(x)$($x$的无穷小)，由于在对应关系$f$的限制下（这里，我把函数的映射作用理解为限制作用，意味着$f(x)$的值并不是随意的，是受到$x$的限制），$f(x)$与A的值之间也差了$\sigma$（自定义的符号不必深究）。因此$\sigma$的大小也收到$o(x)$的限制（$\sigma$不会乱跑）。正是这两个差，成为了我们解释函数极限定义的基础。

我们任意给出一个任意小的数$\epsilon$（就是你认为小的数，你认为1000是很小的数也行，你认为0.004的很小的数也行），我们认为$\epsilon$是上文提到的$A$与函数$f(x)$的差值，由于这个任意小的数$\epsilon$确定了（因为是你任意给的嘛），因此这里的$x$也就确定下来了（想想是不是这样，由于上文提到限制作用），我们定义为$\delta$。由此我们得到：$\epsilon$与$\delta$是两个相互限制的一对数。这就是咱们教科书中说的：任给$\epsilon$，都存在一个$\delta$（$\vee$$\epsilon$，$\exists$$\delta$）的内在含义。

对应于（注意不是等于，这里只是类比的效果，这里的$\epsilon$和$\sigma$是无法比较的）上文提到的$\sigma$，
2. 再从极限的性质说

一：在自变量的某个范围内函数值是有界的（高等数学书上讲的：局部有界性）
二：如果函数的某一点（自变量$x$）的函数值是大于零（或者小于零），则它在这点的极限也是大于零（或者小于零）
三：极限如果存在，则极限的值一定是唯一的（自变量从左往右趋向于特定值($x\to x_0^{-}$)，或者从右往左趋向于特定值($x\to x_0^{+}$)，函数的极限值是不变的）

这三个定理有一个很重要的前提：自变量$x$的趋向情况（就是那个箭头"$\to$"）,本身也是一个极限的概念，只是为了方便起见，直接用“$\to$”表示而已。所以函数极限的定义是兼顾了自变量$x$和函数值$y$统一整体。具体其展开的理解，将在第二篇文章进行分享。