从狭义相对论到经典场论(二)：粒子的动力学

作者：朱庆祺

学校：多伦多大学

本系列第一篇：从狭义相对论到经典场论(一)：起源和洛伦兹变换的导出

目录

• 经典力学系统的作用量原理，欧拉-拉格朗日方程，和哈密顿量

• 无外场下自由粒子的运动方程和能量

• 标量场下粒子的运动方程和能量

• 向量场（电磁场）下粒子的运动方程和能量

• 引力场下粒子的运动方程

14经典力学系统的作用量原理，欧拉-拉格朗日方程，和哈密顿量

狭义相对论本质上是一个关于时空对称性的理论。这个时空对称性的要求对体系作用量/拉格朗日量的数学形式起到了一个非常强的约束作用。而一个体系的作用量/拉格朗日量就直接决定了它的动力学和各种物理行为，所以它起到了非常关键的作用。所以下面我们就从经典力学系统出发，先带大家回顾一下理论物理里的核心原理 — 作用量原理，和由它导出的欧拉-拉格朗日方程，以及一个非常重要的不随时间变化的守恒量 — 哈密顿量/能量。

一个经典力学系统的拉格朗日量可以写成广义坐标和广义速度的函数（注：在我们目前的讨论里假定拉格朗日量不显含时间，否则将来导出的哈密顿量/能量将不再是守恒量）。所以相应的作用量可以写成如下拉格朗日量对时间积分的形式：

依据作用量原理可知，经典力学系统的运动规律由作用量取极值给出。这在数学上对应着作用量的变分为0。应用多元函数微积分运算的基本法则，我们有：

对上式应用分部积分可以得到：

上面大括号表达式里的第二项是边界/表面项，它对整个积分值没有贡献。所以上式可以简化成：

因为是可以任意变化的小量，且不同自由度的间是相互独立的，所以为了使得上式为0，我们必须要求上式中括号里的表达式对所有的自由度i都为0，即：

这就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程，它是作用量原理在经典力学系统中的体现！其中在上式中我们定义：

叫作相对于广义坐标的共轭动量。现在对于这个经典力学系统，我们已经有了它的拉格朗日量，以及它的广义速度和共轭动量。通过它们我们可以利用对拉格朗日量的勒让德变换定义出一个守恒量H，即：

它叫作该经典力学体系的哈密顿量/能量。 为了验证按照此种方式定义出的哈密顿量的确是个不随时间变化的守恒量，我们将上述方程两端同时对时间求导，然后应用微积分里函数乘积的求导法则和链式求导法则我们有：

通过把上式的用欧拉-拉格朗日方程的结果做替换，用共轭动量的定义式做替换，我们可以发现上述方程右端的两个和式其实是完全一样的，所以我们最终得到哈密顿量对时间的导数是0，即：

这也就证明了我们定义出的哈密顿量H确实不随时间发生变化，是这个经典力学系统的守恒量。它在物理上对应着能量。

当然上面这些只是形式理论。为了让大家真正建立起一些物理感觉，我们下面不妨用该形式理论解决四个具体的例子，它们分别是无外场/标量场/向量场（电磁场）/引力场下粒子的运动情况。通过这些具体例子的讲解，读者将会对该形式理论的内在逻辑有更深刻的理解。

15无外场下自由粒子的运动方程和能量

对于无外场下的自由粒子情形，我们首先构造该力学系统的作用量。因为作用量必须是洛伦兹变换下的不变量（即洛伦兹标量）才能自动保证最终得到的粒子运动方程在洛伦兹变换下保持形式不变，而我们最容易想到的最简单的洛伦兹不变量就是闵可夫斯基时空下世界线的“长度”，所以我们可以把粒子的作用量写成如下正比于世界线长度的形式：

我们马上将会看到，将上述比例系数取成(-m)的原因是为了使上述作用量在低速极限下退化到传统牛顿形式的作用量。现在有了粒子作用量的具体形式后，我们容易从中提取出它的拉格朗日量是：

在低速极限下，利用泰勒展开容易发现上述拉格朗日量刚好退化成如下传统牛顿形式的作用量：

这也是为什么我们之前要把比例系数特地取成(-m)的原因。有了拉格朗日量的具体形式，接下来我们就利用之前在形式理论里共轭动量的定义式计算出x，y，z三个方向上的共轭动量分别是：

为简单起见，先考虑粒子在x方向的运动方程。为了得到x方向的运动方程，我们将x方向的共轭动量表达式代入由作用量原理导出的欧拉-拉格朗日方程：

为了将上述方程更加显式地表达成洛伦兹协变的形式，我们必须想方设法把方程中出现的非洛伦兹不变的坐标时t替换成洛伦兹不变的固有时。所以我们可以利用链式求导法则对它进行如下的变形。变形后的方程类似于自由粒子在x方向上牛顿第二定律的形式：

当然上面得出的只是粒子在x方向的运动方程。我们可以利用完全相同的处理手法得出粒子在y方向和z方向的运动方程分别是：

它们可以被进一步统一成如下更为紧凑的四维协变形式的运动方程：

我们可以从上述张量运动方程的数学形式立刻看出它具备洛伦兹协变性！这也验证了我们在本节开头时说过的话：“作用量必须是洛伦兹变换下的不变量（即洛伦兹标量）才能自动保证最终得到的粒子运动方程在洛伦兹变换下保持形式不变。”除此之外可以发现，这个运动方程和传统牛顿第二定律的形式非常相似，除了里头用的时间是粒子的固有时，里头用的加速度是粒子的4-加速度，里头用的力是4-力。因为此处是处于无外场下的自由粒子情形，所以4-力和4-加速度均为0。根据上述运动方程容易解出是的线性函数，即：

所以这在物理上意味着该自由粒子在闵可夫斯基时空下做的是匀速直线运动。这也非常符合我们的直觉：一个在无外场下不受力的自由粒子当然应该做匀速直线运动。现在有了自由粒子的运动方程，接下来我们就来看看它的哈密顿量/能量是什么样的。利用之前在形式理论里哈密顿量/能量的定义式，我们通过对自由粒子的拉格朗日量做勒让德变换便可以得到它的能量表达式是：

上述方程是在自然单位制c=1下的表达式。我们容易通过简单的量纲分析把所有的光速c恢复回来。恢复光速c后的能量方程是我们更加熟悉的形式：

值得注意的是，有些非常古老的教材/文献有时会定义一个如下所示的与运动速度v有关的所谓“动质量” 的概念：

然后以此来与粒子固有的“静止质量” 做区分。但是这里需要说明的是，这个“动质量”的概念在主流物理学里早就不再使用了。我们现在谈论“质量”都默认的是粒子固有的“静止质量” ，它是个洛伦兹标量；而“动质量” 因为本质上就是运动粒子的能量E，所以我们没必要额外定义一个“动质量”的概念去人为增加问题的复杂性。为了直观地看出上述相对论性能量方程和传统牛顿力学里能量方程的关系，我们在低速极限下对上述相对论性能量方程做泰勒展开：

可以发现，在做了泰勒展开以后，传统形式的牛顿动能项出现了！所以在低速极限情形下，我们基本回到了非相对论性牛顿力学的结果。但需要注意的是，与牛顿力学不同的是，这里还多出了一个常数项，而这一项可以看成是粒子运动速度v=0时的静止能量，即：

这就是大名鼎鼎的爱因斯坦质能等价关系！它意味着质量和能量其实是等价的，它们本质上只是同一个物理对象不同的表现形式而已，它们之间可以相互转化。由于两者间相差了一个的换算因子，所以这说明非常小的质量可以被转化成非常巨大的能量，反之亦然。

上述这个的公式只适用于有质量粒子在静止时的能量，而对于一些零质量粒子比如光子，因为“光速不变原理”的限制，所以我们没法找到一个参考系让它静止，所以我们必须寻求一个更一般更完整的能量表达式以使其适用于所有粒子。为了得到这个最完整的能量表达式，我们需要注意到之前计算出的相对论性能量和三个方向的共轭动量刚好构成4-动量的四个分量，即：

而这个4-动量的各个分量间并不是相互独立的，而是被如下方程所约束的：

而这个约束方程也就直接给出了最一般的适用于所有粒子的能量表达式是：

这就是狭义相对论中极其重要的描述能量-动量色散关系的方程！我们容易通过简单的量纲分析把所有的光速c恢复回来。恢复光速c后的能量-动量色散关系是我们更加熟悉的形式：

将上述能量-动量色散关系的公式应用于光子我们可以发现：对于光子来说，由于其质量为0，所以其全部能量都来源于它的动量，且它们间满足如下的线性关系，即：

16标量场下粒子的运动方程和能量

在上一节中我们讨论的只是最理想的无外场下自由粒子的运动方程和能量。在这一节中，我们考虑更加真实的粒子与外场间有相互作用的情形。我们先假设粒子与最简单的标量场（比如希格斯场）耦合的情形。所以此时我们需要构造的作用量不仅要包含上一节中正比于世界线“长度”的一项，还必须包含粒子与场耦合的一项。同时为了满足洛伦兹不变性的要求，我们能够构造出的最简单的作用量就是：

其中上述作用量里的耦合常数g表征了粒子与场间的耦合强度。可以发现当耦合常数g=0时，上述作用量就退化到了上一节中讨论的无外场的情形。现在有了粒子作用量的具体形式后，我们容易从中提取出它的拉格朗日量是：

接下来我们就利用之前在形式理论里共轭动量的定义式计算出x，y，z三个方向上的共轭动量分别是：

为简单起见，先考虑粒子在x方向的运动方程。为了得到x方向的运动方程，我们将x方向的共轭动量表达式代入由作用量原理导出的欧拉-拉格朗日方程：

为了将上述方程更加显式地表达成洛伦兹协变的形式，我们必须想方设法把方程中出现的非洛伦兹不变的坐标时替换成洛伦兹不变的固有时。所以我们可以利用链式求导法则对它进行如下的变形。变形后的方程类似于在势场下方向上牛顿第二定律的形式：

当然上面得出的只是粒子在方向的运动方程。我们可以利用完全相同的处理手法得出粒子在方向和方向的运动方程，且它们可以被进一步统一成如下更为紧凑的四维协变形式的运动方程：

我们可以从上述张量运动方程的数学形式立刻看出它具备洛伦兹协变性！这也验证了我们原先说过的话：“作用量必须是洛伦兹变换下的不变量（即洛伦兹标量）才能自动保证最终得到的粒子运动方程在洛伦兹变换下保持形式不变。”除此之外我们发现这个运动方程和传统牛顿第二定律在形式上非常相似，除了里头用的时间是粒子的固有时，里头用的力是4-力（这个4-力基本是势能的负梯度），里头用的质量是被标量场平移后的有效质量（注：这个有效质量可以看成是标量场赋予粒子质量的过程），即：

且容易检验：当我们取耦合常数时，该粒子的运动方程的确退化到了上一节中无势场下自由粒子运动方程的情形。这也从一个角度验证了我们上述计算的合理性。

当我们取非相对论性低速极限时，固有时和坐标时基本是同一回事。所以上述运动方程可以退化成如下形式：

所以现在我们可以更加清晰直观地看到：上述方程的左手边对应动量的时间导数（注：产生这个动量的质量是被标量场平移过后的有效质量，而不是粒子的原始质量），而右手边对应势能的负梯度，也就是力。而这恰好就是牛顿第二定律的内容！现在有了标量场下粒子的运动方程，接下来我们就来看看它的哈密顿量/能量是什么样的。利用之前在形式理论里哈密顿量/能量的定义式，我们通过对标量场下粒子的拉格朗日量做勒让德变换便可以得到它的能量表达式是：

可以发现这个标量场下粒子能量的表达式与上一节中自由粒子能量表达式的形式完全一致，除了把原先粒子的固有质量全都换成被场平移过后的有效质量。与之前讨论自由粒子情形完全类似地，注意到我们之前计算出的相对论性能量和三个方向的共轭动量刚好构成4-动量的四个分量，即：

而这个4-动量的各个分量间并不是相互独立的，而是被如下方程所约束的：

而这个约束方程也就直接给出了最一般的能量-动量色散关系的表达式是：

可以发现，除了把原先粒子的固有质量全都换成被场平移过后的有效质量，上述标量场下能量-动量色散关系的方程与上一节无外场下自由粒子能量-动量色散关系的方程在形式上完全一致！我们容易通过简单的量纲分析把所有的光速c恢复回来。恢复光速c后的能量-动量色散关系是我们更加熟悉的形式：

17向量场（电磁场）下粒子的运动方程和能量

在上一节中我们讨论的是在标量场下粒子的运动方程和能量。标量场是一类最简单的不携带任何洛伦兹指标的场。在这一节中，我们将把标量场换成稍微复杂一点的只携带有一个洛伦兹指标的向量场。而一类最典型的向量场的例子就是电磁场，所以我们接下来就着重讨论粒子与向量/电磁场间有相互作用的情形。由于此时粒子与电磁势间有耦合，所以我们需要构造的作用量不仅要包含自由粒子情形中正比于世界线“长度”的一项，还必须包含粒子与电磁势耦合的一项。同时为了满足洛伦兹不变性和规范不变性的要求，我们能够构造出的最简单的作用量就是：

其中上述作用量里的耦合常数q表征了粒子与电磁场间的耦合强度。所以此处耦合常数q的物理意义其实就代表了粒子的电荷。可以发现当电荷q=0时，由于与电磁场不发生相互作用，上述作用量就退化到了无外场下自由粒子的情形。同时值得注意的是，上述规范不变性的要求其实对体系作用量的具体形式给出了非常严格的限制。它要求在对电磁势做如下的规范变换，即：

以后，体系的作用量不发生改变（或者最多相差一个常数）。其中是任意的可微函数。对于我们现在讨论的与电磁场耦合的粒子作用量而言，当我们对其中的电磁势做了上述的规范变换以后，体系作用量的变化是：

可以发现这个变化量是个常数。因为体系的经典运动方程是由作用量的变分取极值给出的，所以作用量仅改变一个常数对体系的运动方程没有任何影响，即：

所以这样我们就证明了该体系具有规范不变性。现在有了粒子作用量的具体形式后，我们容易从中提取出它的拉格朗日量是：

接下来我们就利用之前在形式理论里共轭动量的定义式计算出x，y，z三个方向上的共轭动量分别是：

为简单起见，先考虑粒子在x方向的运动方程。为了得到x方向的运动方程，我们将x方向的共轭动量表达式代入由作用量原理导出的欧拉-拉格朗日方程：

为了将上述方程更加显式地表达成洛伦兹协变的形式，我们必须想方设法把方程中出现的非洛伦兹不变的坐标时t替换成洛伦兹不变的固有时。所以我们可以利用链式求导法则对它进行如下的变形：

当然上面得出的只是粒子在x方向的运动方程。我们可以利用完全相同的处理手法得出粒子在y方向和z方向的运动方程，且它们可以被进一步统一成如下的四维协变形式的运动方程：

我们可以从上述张量运动方程的数学形式立刻看出它具备洛伦兹协变性！除此之外我们发现这个运动方程和传统牛顿第二定律在形式上非常相似，除了里头用的时间是粒子的固有时，里头用的力是4-力，里头用的速度是粒子的4-速度。且容易检验：当我们取耦合常数/电荷q=0时，该粒子的运动方程的确退化到了无势场下自由粒子运动方程的情形。这也从一个角度验证了我们上述计算的合理性。接下来为了进一步简化上述方程的结构，我们可以把运动方程右端括号里的表达式定义成一个新的张量。它是个二阶反对称张量，叫作“电磁场场强张量”，具有如下形式：

那么在此定义下，电磁场中粒子的运动方程就可以用电磁场场强张量写成如下更为紧凑的张量方程的形式：

这就是著名的 四维协变形式下的洛伦兹力方程 ！ 这也验证了我们原先说过的话： “ 作用量必须是洛伦兹变换下的不变量（即洛伦兹标量）才能自动保证最终得到的粒子运动方程在洛伦兹变换下保持形式不变。 ”也许大家此时对这种以四维张量形式呈现出来的洛伦兹力方程还有些陌生，但是我们可以在三维语言下通过恰当的对应把它写成大家更为熟悉的形式。 为简单起见，我们还是先考虑x方向的运动方程。 取上述洛伦兹力方程的x分量我们有：

为了把上述方程右端中括号里关于电磁势分量导数的表达式对应到恰当的电场与磁场分量的表达式，我们得先对这里电场和磁场的定义做一些说明。如果我们把之前得到的电磁场场强张量中的时间-空间分量命名为电场，而空间-空间分量命名为磁场，那么通过电磁场场强张量的定义式我们可以得到如下电场/磁场与电磁势关系的表达式：

可以发现它们与经典电磁学里对于电场和磁场的定义是完全一致的。为了更加直观地表现出电磁场场强张量的模样，我们不妨把它显式地写成如下用电场和磁场各个分量表示的矩阵形式。其中两个指标均为协变指标的电磁场场强张量是：

容易验证它的确是个二阶反对称张量，即满足：

相应地，可以得到两个指标均为逆变指标的电磁场场强张量是：

有了上述电场和磁场以及电磁场场强张量的定义，我们可以把它们代入x方向的洛伦兹力方程，从而将原先由电磁势分量导数表示的洛伦兹力方程写成如下由电场与磁场分量表示的形式：

当然上面得出的只是粒子在x方向的洛伦兹力方程。我们可以利用完全相同的处理手法得出粒子在y方向和z方向的运动方程，且它们可以在三维语言下被统一成如下形式的方程：

可以发现上式就是我们非常熟悉的中学就碰到的用三维语言表述的洛伦兹力方程，除了在方程右手边多出了一个额外的相对论性修正因子。但在低速极限下，由于 ，所以上述方程刚好可以退化成如下形式：

值得注意的是，尽管我们这里最终导出的洛伦兹力方程仅与电场和磁场直接相关，而不与电磁势直接相关，但是我们最开始出发的作用量却必须把电磁势（也就是电势和磁矢势）而不是把电场和磁场写进去。所以从这个意义上来看，电磁势是个比电场和磁场更加基本的东西！它的基础性和重要地位要等到量子力学以及非平庸拓扑结构的出现才能更加凸显出来。现在有了电磁场下粒子的运动方程，接下来我们就来看看它的哈密顿量/能量是什么样的。利用之前在形式理论里哈密顿量/能量的定义式，我们通过对电磁场下粒子的拉格朗日量做勒让德变换便可以得到它的能量表达式是：

可以发现，上式最后得出的粒子能量结果中的第一项刚好是自由粒子情形时的能量，而第二项则对应粒子的电势能。为了将这个电磁场下相对论性粒子能量的结果与非相对论性量子力学里带电粒子在电磁场下运动的哈密顿量作比较（注：这个哈密顿量将最终进入支配量子演化行为的薛定谔方程中去，所以它起着非常关键的作用），我们必须把上述相对论性粒子能量的表达式在非相对论低速极限下用体系的共轭动量表示出来。在低速极限下，由于，所以之前算出的在x，y，z三个方向上的共轭动量会分别退化成如下的形式：

同时在低速极限下，我们可以利用泰勒展开将之前算出的相对论性粒子能量的表达式退化成：

因为我们希望把上述哈密顿量写成关于体系共轭动量而不是速度的函数，为此我们必须把上述方程里牛顿形式的动能项改写成关于体系共轭动量的函数。由之前得出的在x，y，z三个方向上共轭动量在低速情形下的退化形式我们有：

将上式两边同时除以(2m)便可以得出以体系共轭动量表出的牛顿形式的动能项：

将上式代入之前算出的低速极限下粒子能量的表达式，我们有：

如果我们讨论的粒子是电子的话，由于电子携带的电荷为(-e)，所以将该电荷量代入上述粒子能量的表达式可以得到电磁场下运动电子的能量是：

这个形式恰好就是我们在非相对性量子力学里碰到的电子在电磁场下运动的哈密顿量！可以发现，这里直接进入到体系哈密顿量从而控制体系随时间演化行为的是电势和磁矢势，而不是电场和磁场！所以这再一次体现出电磁势是个比电场和磁场更加基本的东西。另外值得注意的是：在上述电子哈密顿量的表达式中，我们直接把电子的静止能量m给去掉了。去掉的原因从薛定谔方程的角度来说是因为静止能量只是个常数，所以它仅仅会造成体系整体能谱零点的改变，而不会影响任何物理；从海森堡运动方程的角度来说是因为所有力学量算符随时间的演化都是由该力学量算符与哈密顿量的对易子决定的，而把哈密顿量减去一个常数值的静止能量并不会影响力学量算符与哈密顿量对易子的值，所以也就不会对力学量算符的时间演化产生任何影响。

通过进一步对比上述电磁场下非相对论性哈密顿量的形式相对于非相对性自由粒子哈密顿量的情形，即：

我们容易发现电磁场下哈密顿量里电子的共轭动量会被磁矢势平移，即：

如果我们把上式中的共轭动量对应到量子力学里坐标表象下算符的形式，那么上述平移操作恰好就是协变导数的来源：

其中协变导数里的电磁势刚好就对应数学上的联络结构！所以给自由电子加上外电磁场的过程也可以等价地从数学的角度认为是把普通导数算符通过电磁势的平移提升成为协变导数的过程！

18引力场下粒子的运动方程

在上一节中我们讨论的是在向量/电磁场下粒子的运动方程和能量。电磁场是携带有一个洛伦兹指标的向量场。在这一节中，我们将把向量场换成更复杂的携带有两个指标的二阶张量场。而一类最典型的二阶张量场的例子就是引力场，所以我们接下来就讨论粒子与引力场间有相互作用的情形。【注：由于引力场下粒子运动的情形并不是我们这篇文章要讨论的重点，所以我们在这里只是给大家提供一个大致的思路。】与之前粒子耦合到标量场和电磁场的方式完全不同，由于引力场是由时空背景舞台本身的内禀弯曲所导致的纯几何效应，而这个几何效应是来源于时空度规的。所以我们这里的做法并不是像之前那样往原始自由粒子作用量里增添额外的与引力场耦合的项，而是通过直接修改原始自由粒子作用量里世界线“长度”度规的方式给出引力场下粒子的作用量。在原始自由粒子作用量的情形下，线长里使用的度规只是闵可夫斯基时空下的平直度规 ：

而在目前引力场的情形下，线元的度规将被修正成如下最一般形式的与时空坐标x相关的弯曲时空度规 ：

容易发现修正后引力场下粒子的作用量具有广义坐标变换下的不变性。现在有了粒子作用量的具体形式后，我们容易从中提取出它的拉格朗日量是：

我们可以将上述拉格朗日量代入由作用量导出的欧拉-拉格朗日方程并经过适当的化简整理后得到：

这就是大名鼎鼎的 广义相对论里粒子的测地线方程 ！ 其中的 叫作“联络”，它的定义是：

当引力场下一般形式的弯曲时空度规退化到无引力场下平直的闵可夫斯基时空度规时，联络也将自动退化成0，即：

相应的粒子运动方程也将退化成无外场下自由粒子的运动方程（取不变量为固有时）：

未完待续……

编辑：牧羊

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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