本文探讨了使用圆规和直尺创造的弧形几何形状，特别是曲边三角形及其幻影。通过分析三曲线的构造和平铺特性，揭示了它们如何形成周期性和非周期性的平铺模式。同时，介绍了填充圆和镜片的奇特过程，以及超级幻影的概念，即填充形状的三曲线幻影组合成的新轮廓。这些数学概念展示了形状之间的相互关系和变幻无穷的视觉效果。
不要走开，精彩马上开始！
如果你擅长利用圆规和直尺创造各种神奇的图案，你会发现各种边为弧形的有趣图形。让我们看看弧形构成的简单几何形状吧。
一个简单的例子是由等边三角形的顶点构成的曲边三角形（Reuleauxtriangle）（如图一所示）。依次将圆规顶点放在三个顶点上，然后绘制连接剩余两个顶点的圆弧，这样便得到了三段圆弧组成的曲边三角形。三条弧所对应的圆周角都为 60° 。曲边三角形是唯一一个边由弧形构成，且弧形的中心为顶点的曲边形状。
图一：曲边三角由等边三角构成。
通常，圆弧的形状主要由两条信息定义：圆的半径和圆弧角。我们可以找到圆弧中心与图形顶点存在有趣关系的其他弧边图形，比如图二中的三种图形。从图形顶点出发绘画新的圆弧，得到的图形与原始图形之间存在旋转或镜像关系。此外，原始图形中每段圆弧对应的的圆心同样位于新图形的顶点，因此不难看出这个绘制的过程是可逆的。
图二：存在“幻影”的三种形状
新绘制的图形被称为原始图形的“幻影”，它是由原始图形顶点绘制的圆弧构成的，它与原始图形形状一致，但存在旋转或者镜像的关系。上面提到的曲边三角形是自参照的：它是自身的幻影。你可能觉得这些幻影跟随着原始形状虚无缥缈地存在着，就像一种幽灵般的存在。
当数学家们遇到二维图形时，他们经常会问自己一个问题：类似于正方形瓷砖可以铺满整个广场，如果给你这个形状的瓷砖，你能用它来平铺整个平面吗？
对于目前提到的这四种形状而言，答案是“不”，这几种形状都不能单独平铺一个完整的平面。用弧边图形铺满平面需要等量的凹面和凸面圆弧。
接下来，让我们看看第五种形状，或者说一类形状。
三曲线
镜片是一种最简单的几何形状，它由两条相同的弧线拼接而成，假设弧线的半径为 1 ，镜片就可以简单得用弧的角度来描述。在弧线上取一点，将弧线分成两部分，然后每部分都可以制作一个镜片，从大的镜片里面减去两个小的镜片，就会得到一个不同寻常的三曲线的形状。
图三：三曲线几何图形
任意的三曲线都能周期性地平铺：将三曲线图形沿着某个方向平铺，就会得到如图四的形状。
图四：周期平铺
如果构成三曲线的弧度的角度是 360° 的因数，而且弧线满足特殊的比例（比如 1:2:3 ），那么三曲线就会具有径向和非周期性质的平铺属性，这个性质非常有趣，你可以自制这个拼图进行尝试。
1
2
图五：拼图
每个三曲线都可以升序的三个弧角来形容，其中两个凹弧的和为大的凸弧的值。迄今为止制作的拼图多是用 30°-60°-90°（图五1）或 36°-72°-108° 弧度（图五2）的三曲线制成，当然还可以用其他角度或者比例的图。除了单面平铺之外，还可以用多种类型的方式平铺。
三曲线的幻影
三曲线的幻影是什么样子的？每个三曲线都存在对应的幻影，将三曲线按照一个固定的旋转中心旋转 180° 得到其幻影，根据三曲线的不同，幻影可能会跟原形状分离，也可能会重叠。
图六：一些三曲线的幻影
为了确定或者可视化三曲线的幻影，只需要三曲线旋转半圈，再将连接两个凹面的那个顶点定位在原始大圆弧的中心。例如，对于任何具有 180° 大弧的三曲线，无论两个较小的弧线如何，幻影的中间顶点都位于半圆的中心。
图七：一些具有180°大弧的三曲线以及幻影
对于一些对称的三曲线，幻影是原始形状旋转 180° 之后的样子，也是初始图像沿原始三曲线对称轴的镜像对称图案。
图八：一些对称的三曲线和其幻影。
用幻影进行平铺
当利用三曲线平铺平面时，观察平铺三曲线的幻影，会发现幻影也在进行平铺。正如预测的那样，周期平铺也会使得幻影周期排列。
图九：带有幻影的周期性平铺
但是，仔细观察这个形状，会发现事情不是那么简单的。在图九中，你必须得仔细观察才能发现哪个幻影跟原始形状是搭配的。你会发现，除了整组原始三曲线发生了 180° 旋转之外，幻影位置还变了。如果将幻影位置逆旋转 180° 会发现这组排列位置变了。
如果用不同大小的三曲线，这一现象会更加明显。在图十中，可以看出幻影不仅仅旋转了 180° ，而且位于彼此对立的两边，不再共享一条弧。
图十：转置的幻影
这种怪异的行为也出现在径向的平铺中，对于图十一来说，星星或者花瓣形状的三曲线的幻影，是一个环形。
图十一：带有环形幻影的花型三曲线
因此，当利用三曲线进行平铺时，其对应的幻影也以一种非直观的、转置的方式来平铺。仔细想想，当你将三曲线形状的材料进行平铺时，其对应的幻影也在一种奇怪的方式进行平铺，这件事让人感到毛骨悚然。
用三曲线填充特定的形状会发生什么？
填充圆形
假如有任意一个镜片形状的物体，用三曲线来对其进行填充可以得到两个较小的镜片。每个小镜片可以被两个更小的镜片和一个三曲线填充。以此类推，任何镜片都可以用一系列越来越小的镜片填充。这种情况也适用于圆，因为圆同样是一种镜片。
图十二：镜片的层次
填充圆的方法有许多，而这里介绍一种普通的方法。首先用最大的三曲线来进行填充，然后向下寻找次一级最大的圆弧进行填充，以此类推，将“剩余镜片”留在下半部分的周边。然后，这些剩余镜片被逐渐变小的三曲线填充，直至变为无限的序列。
这里列举四种方法，每种方法的介绍仅深入到一定的填充程度。
方案 A 是利用对称的方法填充，每一层的弧线都一分为二，如下图所示：第一个三曲线弧角为 90°-90°-180°，第二层是 45°-45°-90° ，第三层是 22.5°-22.5°-45° 。
图十三：A: 圆的对称填充
或者，可以将三曲线最小的弧角保持为 22.5° ，利用从同一点出发的圆弧（图十四左），或者大的三曲线交错的形式（图十四右）来完成填充。
图十四：方案 B 和 C 。
这两例都用了七个三曲线，只是排列方式不同，两种情况下顶部的三曲线都是 22.5°-157.5°-180° 。同时，以上三种填充方式，未填充的下半周的镜片数量和尺寸都相同，恰好是八个 22.5° 的镜片，这些镜片也最终会用无限的小的三曲线来进行填充。
方案 D 是方案 B 的变体，只不过是用更细的三曲线进行的填充。刚开始，我们可以用 5° 的小角度（5°的小圆弧）来进行填充，最大的三曲线是 5°-175°-180° 。
图十五：细的三曲线
图十五没有显示圆下半部分的圆弧和镜片，因为将其做的很小，所以在这个尺度下很难区分。随着小圆弧的角度大小趋近于 0° ，主要的三曲线的会趋近于无限多，而剩余要填充的镜片也会无限小。这似乎是最简单，也是最优雅的填充圆的方法。
此时，填充三曲线的幻影是什么样子的？
考虑上面 A-C 三种情况下的幻影，如图十六所示。
图十六：方案 A 的幻影
方案 A 中对称的三曲线填充比较简单，每个幻影都是原始图形的镜面对称，顶点在原始图形的对称轴上。方案 B 和 C 的幻影如图十七所示。
图十七：B和C的幻影
可以发现，三种情况生成的幻影都是一样的，这是为什么呢？
图十八：幻影的神秘轮廓
如果继续填充图形剩余的镜片，会发生什么？以方案 A 为例，继续填充的图形如图十九所示。
图十九：填补剩余“裂缝”
对于 A-C 继续进行填充得到的结果是一样的。对于每种填充方式，幻影填充新形状外侧的凸起之间的缝隙，或者向上延伸尖端。极限形状是一个半径为原始圆的直径的半圆，减去两个原始的半圆形状，如图二十所示。无论用对称还是不对称的三曲线对圆进行填充，其幻影得到的结果是一样的。因此，幻影创造并填充了一个新的形状：一个对称的方圆（arbelos，由三个半圆组成的形状）。
图二十：产生的超级幻影
当方案 D 采用同样的极限情况时，得到的结果相同：随着填充的三曲线的数量接近无限大，幻影的形状接近对称的方圆。
图二十一：方案D的转换
我们可以反过来做，虽然会有点困难：我们可以从对称的方圆开始，用无穷的三曲线填充它，然后制作这些三曲线的幻影，最后回到填充圆。无论圆是如何用三曲线填充的，这都是正确的。因为对称的方圆是填充圆中所有幻影三曲线的并集，所以我们称对称的方圆是圆的超级幻影。反之亦然，因为它是可逆的。因此，一个形状的超级幻影是该形状的填充三曲线的幻影结合的轮廓。
回到镜片
将上面对圆的操作同样作用到镜片上。回到方案B，从整个圆中找到一个镜片（橙色轮廓），其对应的超级幻影图二十二所示。
图二十二：子镜片和其超级幻影
更多子分级的镜片和其幻影。
图二十三：另一级别的镜片和它的超级幻影
如果将不同级别的镜片并排比对，会发现图二十四的结果。
图二十四：方案B填充下不同镜片及其幻影
用三曲线填充镜片的方法还有很多，我们也可以用小于 22.5° 的镜片进行填充。就像我们填充圆时所做的那样，可以将其填充到极限。最后，对于任何镜片，超级幻影都是一个广义对称的方圆，而其中弧度可能会小于 180° 。这里有一个由三条角度相同的圆弧构成的初始镜片，镜片跟其幻影的关系如图二十五所示。
图二十五：镜片和其超级幻影
减去超级幻影
最后，我们注意到镜片和超级幻影可以从更大的镜片和超级幻影中减去。在下面的图中，在原始镜片（左）中移除了两个较小的镜片（中），从而得到了一个三曲线（右），而超级幻影在这个过程中相应地发生了改变。
图二十六：移除两个镜片
再来看另一个例子，从一个圆中减去两个镜片，对应的超级幻影则是从完全对称的方圆中减去两个广义对称的方圆。
图二十七：从圆中减去两个镜片
你可能会注意到，在上面的两幅图中，两个较小的镜片从较大的镜片上取下，剩下的形成了一个三曲线。由此产生的超级幻影也是该三曲线的幻影。事实证明，对于任何三曲线，超级幻影都和幻影一样！
这篇文章从简单的直尺和圆规开始，从圆弧到镜片，到三曲线，到幻影，到填充圆，超级幻影再到方圆。但还可以再进一步，把圆圈和其超级幻影结合起来，你快动手试一试吧~
作者：Tim Lexen
翻译：Nuor
审校：C&C
原文链接：
https://plus.maths.org/content/ghosts-tiles https://plus.maths.org/content/ghosts-tiles-continued
我们是谁：
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
扫描二维码
关注更多精彩
Gilbreath原理中的数学与魔术（五）——Ultimate Gilbreath原理初步应用魔术《Eric心电感应》等
Si Stebbins Stack中的数学与魔术（十一）——《Woody on Stebbins》作品赏析
点击阅读原文，往期精彩不错过！
扫一扫
1317
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
