14、密码分析中的不可能差分、零相关线性与积分分析的联系

密码分析中的不可能差分、零相关线性与积分分析的联系

1. 基础概念

1.1 积分平衡与差分概率

在密码学中，我们引入一些基础概念。设函数 (H)，若满足一定条件，我们称 (H) 具有积分平衡（零和）性质。对于 (\delta \in F_{2}^{n}) 和 (\Delta \in F_{2}^{k})，(\delta \to \Delta) 的差分概率定义为：
[p(\delta \to \Delta) \triangleq \frac{#{x \in F_{2}^{n}|H(x) \oplus H(x \oplus \delta) = \Delta}}{2^{n}}]
如果 (p(\delta \to \Delta) = 0)，则称 (\delta \to \Delta) 是 (H) 的一个不可能差分。若 (A \subseteq F_{2}^{n})，(B \subseteq F_{2}^{k})，且对于所有 (a \in A) 和 (b \in B)，都有 (p(a \to b) = 0)，那么 (A \to B) 被称为 (H) 的一个不可能差分。同时，对于平衡布尔函数 (G : F_{2}^{n} \to F_{2})，它是平衡的当且仅当 (c(G(x)) = 0)。

1.2 分组密码

1.2.1 Feistel 密码

一个 (r) 轮的 Feistel 密码 (E) 定义如下：设 ((L_{0}, R_{0}) \in F_{2}^{2n}) 为 (E) 的输入，进行 (r) 次如下变换：
[
\begin{cases}
L_{i + 1} = F_{i}(L_{i