18、半线性椭圆边值问题的高级主题

半线性椭圆边值问题的高级主题

1. 牛顿法实现

以下是一个简单的牛顿法实现代码：

function u = newt (u,s,G,J)
    for i = 1:10
        chi = J(s,u) \ G(s,u);
        u = u - chi;
        if norm ( chi) < 10^(-10)
            break;
        end
    end
end

此代码用于求解半线性椭圆边值问题，通过迭代更新解向量 u ，直到满足收敛条件。

2. 特征空间与搜索方向

在主分岔点 ( s = 10\pi^2, u \equiv 0 ) 处，二维临界特征空间中的元素可用于确定搜索方向。
- 左图的等高线图对应于任意元素，对于图中所示的三个主分支，它并非一个好的搜索方向。
- 右图的等高线图对应于具有 90 度旋转不变性的元素，对于具有该对称性的主分支，它是一个好的搜索方向。
该特征向量可通过两种方式获得：
- 方式一：取 ( u = \psi_{13} + \psi_{31} )。
- 方式二：取二维空间中的任意元素，并将其与三个 90 度旋转后的元素求平均。

以下是实现 90 度旋转的 MATLAB 代码：

Z1 = e; % 任意 e - 向量在 \( R^{N\times N} \) 中
Z2 = (Z1(n