15、通用区域的偏微分方程求解及相关计算

通用区域的偏微分方程求解及相关计算

1. 贝塞尔函数求根的不同方法

在求解贝塞尔函数的根时，我们会用到牛顿法，其中涉及到目标函数 ( g ) 关于 ( s ) 的导数计算。以下是相关代码：

syms q R s t;
g = @(q, R, s) besselj(q, s*R);
f1 = @(s) subs(diff(g(q,R,t),t),s);
z1 = f1(s);
f2 = @(q,R,s) eval(z1);
f3 = @(q,R,s) (q*besselj(q, R*s))/s-R*besselj(q+1,R*s);

这里有三种不同的计算导数的方法：
- 方法一（( f1 )） ：每次调用时重新计算导数。
- 方法二（( f2 )） ：只计算一次导数，但每次调用时进行昂贵的求值操作。
- 方法三（( f3 )） ：通过纸笔计算硬编码得到的表达式。

下图展示了使用这三种方法迭代牛顿法 ( n ) 次来求贝塞尔函数根时的执行时间差异：

从图中可以看出，三种方法的执行时间差异极大。方法一的红色曲线以秒为单位，方法二的蓝色曲线以 1/10 秒为单位，方法三的绿色曲线以 1/1000 秒为单位。显然，MATLAB 命令 eval