9、分布式参数系统外部输入与大规模系统交互结构分析

分布式参数系统外部输入与大规模系统交互结构分析

1. 分布式参数系统外部输入识别

在分布式参数系统（DPS）中，未知外部输入的识别问题在环境污染和地震问题分析等领域备受关注。这里主要从边界元法的角度来探讨该问题，假设DPS由抛物型非齐次偏微分方程（PDE）控制。

1.1 识别方法

利用边界元法（BEM）的基本思想，即与给定PDE对应的积分方程和边界分区，开发了一种将外部输入表示为点力之和的识别方法。具体步骤如下：
1. 确定点力数量 ：基于与简约原则密切相关的思想确定点力的数量。
2. 估计点力位置和大小 ：通过最小化与DPS控制PDE对应的积分方程的解与边界上几个参考点处受噪声干扰的观测值之间的相对误差平方和，来估计点力的位置和大小。

1.2 数值模拟结果

以示例1为例，其识别结果如下表所示：
| a | t = 2 | | | | t = 3 | | | |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| | (x₁, y₁) | h₁ | (x₂, y₂) | h₂ | (x₁, y₁) | h₁ | (x₂, y₂) | h₂ |
| 0.1 | (2.002, 0.990) | 1.0186 | (-0.015, -2.017) | 2.0211 | (2.044, 0.987) | 1.0179 | (-0.029, -1.981) | 2.0717 |
| 0.05 | (1.975, 1.017) | 1.0372 | (-0.000, -2