8、基于边界元法的分布参数系统外部输入识别

基于边界元法的分布参数系统外部输入识别

1. 引言

分布参数系统（DPS）的识别一直是控制和系统工程师关注的重点。在许多物理和工程应用中，DPS建模对于更精确地描述过程和有效地实施控制至关重要。此前已有大量关于DPS有效识别的研究，不过大多数研究主要关注从输入和输出数据中估计DPS中的未知常数参数。

然而，DPS的行为通常依赖于初始条件、边界条件以及施加的外部输入。因此，为了完整描述DPS，确定初始条件、边界条件和输入是必要的。特别是在地球物理和环境现象的分析与控制方面，识别施加于DPS的外部输入变得尤为重要。例如，为了控制空气污染，常常需要从多个监测站的观测数据中识别空气污染物源的水平和位置。

DPS识别的主要难点在于其状态空间的无限维特性。这使得我们迟早会面临一些近似问题，比如将无限维模型简化为有限维模型，或者在应用于无限维模型的优化技术的数值实现中遇到问题。常见的近似方法有有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和边界元法（BEM）。
- 有限差分法（FDM） ：用离散点网格覆盖状态空间，通过离散点上变量的值近似偏微分方程（PDE），然后通过差分方程组求解。
- 有限元法（FEM） ：最初用于结构力学中分析连续体的应力和位移。其基本思想是将系统分解为多个有限元，每个有限元的行为由一组独立的方程描述，通过求解方程组得到整个系统的解。
- 边界元法（BEM） ：引入与控制PDE等价的积分方程，通过边界离散化（边界元）进行分析。与FDM和FEM需要对整个区域进行离散化不同，BEM仅在边界上进行离散化，能有效降低维度，并且在需要数值结果之前