16、z变换：原理、计算与应用

z变换：原理、计算与应用

1. 引言

在分析线性系统时，我们常常会遇到求解线性常系数微分方程的问题，拉普拉斯变换就是解决这类方程的常用工具。同时，傅里叶域方法也被广泛用于线性系统的分析。随着数字计算机的出现，处理离散时间信号（即序列）变得越来越重要。这些信号既可以通过对连续时间信号采样得到，也可以本身就是离散的。

为了分析线性离散时间系统，我们需要拉普拉斯变换（LT）的离散时间对应物，即z变换。z变换和拉普拉斯变换类似，可用于求解线性常系数差分方程。我们可以先将差分方程转换为一组代数方程，然后在变换域中求解。此外，z变换可以看作是离散时间傅里叶变换（FT）的推广。

离散时间傅里叶变换的表达式为：
[
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j n \omega}
]
这个表达式并不总是收敛的，而z变换可以为这些不收敛的情况提供有效的表示。而且，使用z变换在符号表示上更加简洁，还能借助复变函数的大量研究成果来分析离散时间系统。

z变换并不是一个新的概念，它可以追溯到18世纪早期的棣莫弗（DeMoivre），他引入了生成函数的概念，在概率论中被广泛使用：
[
\Gamma(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} p[n] z^n
]
其中，$p[n]$ 是离散随机变量 $n$ 取值为 $n$ 的概率。通过比较可以发现，生成函数 $\Gamma(1/z)$ 就是序列 $p[n] = p{n = n}$ 的z变换。20世纪50年代初，随着数字计算机的快速发展，人们对z变换的兴趣再次兴起，此后z变换一直