14、傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换

傅里叶级数、傅里叶变换与离散傅里叶变换

在信号处理领域，傅里叶级数、傅里叶变换以及离散傅里叶变换是非常重要的概念，它们帮助我们在时域和频域之间进行转换，从而更好地理解和处理信号。本文将详细介绍这些概念及其相关性质。

1. 连续时间傅里叶变换（CT Fourier Transform）

1.1 定义与性质

连续时间傅里叶变换的定义如下：
[
F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
]
[
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega
]

其性质丰富多样，以下是一些常见性质的总结：
| 性质名称 | 内容 |
| — | — |
| 叠加性 | ( \mathcal{F}{af_1(t) + bf_2(t)} = aF_1(j\omega) + bF_2(j\omega) ) |
| 奇偶性简化 | 若 ( f(t) ) 为偶函数，( F(j\omega) = 2\int_{0}^{\infty} f(t) \cos(\omega t) dt )；若 ( f(t) ) 为奇函数，( F(j\omega) = j2\int_{0}^{\infty} f(t) \sin(\omega t) dt ) |
| 负时间 | ( \mathcal{F}{f(-t)} = F^*(-j\omega) ) |
| 时间尺度缩放 | ( \mathcal{F}{f(at