求解矩阵最小路径和问题------动态规划

给定一个m行n列的矩阵，从左上角开始每次只能向右或者向下移动，最后到达右下角的位置，路径上的所有数字累加起来作为这条路径的路径和。求所有路径和中最小路径和。

输入格式:

首先输入行数m及列数n，接下来输入m行，每行n个数。

输出格式:

输出第1行为最小路径（假定测试数据中的最小路径唯一），第2行为最小路径和。

输入样例1:

4 4
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0

输出样例1:

1 3 1 0 6 1 0 
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 在此特别感谢这位同志：leetcode 64. 最小路径和（递归 / 动态规划解法图解）（Java版）_java实现4x4的矩阵最短移动路径-优快云博客

 俺的题目跟他的不同之处就是多了个输出最小路径。

解题思路   

• 状态定义：dp[i][j] 表示从 (0,0) 到 (i,j) 的最小路径和。
• 转移方程：
  • 若在 (i,j)，只能从上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1) 到达。
  • dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a[i][j]。
• 边界：
  • 第一行：dp[0][j] = dp[0][j-1] + a[0][j]（只能从左边来）。
  • 第一列：dp[i][0] = dp[i-1][0] + a[i][0]（只能从上面来）。
  • 起点：dp[0][0] = a[0][0]。
• 目标： dp[m-1][n-1] 就是最终的最小路径和。
• 路径记录：用一个数组 prev[i][j] 记录到达 (i,j) 的前驱方向（“上”或“左”），方便回溯路径。
• 回溯路径：从 (m-1,n-1) 开始，根据 prev 数组逆推路径，存入flag[i][j]数组中。

代码如下： 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int m,n;
	cin>>m>>n;
	int a[m][n];
	int dp[m][n];//dp[i][j] 记录从 (0,0) 到 (i,j) 的最小路径和
	int prev[m][n];//记录到达 (i,j) 的前驱方向（“上”或“左”），方便回溯路径
	int min=0;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	} 
	dp[0][0] = a[0][0];//初始化dp 
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if(i==0 && j>0)
			{
				dp[i][j]=dp[0][j-1]+a[0][j];//如果该点在第一行，那就只有他左边的那个点能来
				prev[i][j]=0;// 0---从左边点来的 
			}
			 
			else if(j==0 && i>0)
			{
				dp[i][j]=dp[i-1][0]+a[i][0];//如果该点在第一列，那就只有他上边的那个点能来 
				prev[i][j]=1;// 1---从上边点来的 
			}
			else if(i>0 && j>0)
			{
				//比较 左 、上两边哪边点的路径和最小，就选择从哪边来 
				if(dp[i][j-1]<dp[i-1][j])
				{
					prev[i][j]=0;// 从左边点来的
					min=dp[i][j-1];	
				}
				else
				{
					prev[i][j]=1;// 从上边点来的
					min=dp[i-1][j];	 
				}
				
				dp[i][j]=min+a[i][j];//如果该点不在第一行第一列，那就是他 min(左边,上边)的那个点来 
				
			}
		}
	}
	
	int i=m-1,j=n-1;
	int flag[100]={0};//记录最小和路径上的点 
	int cnt=0; 
	while(i>=0&&j>=0)
	{
		flag[cnt++]=a[i][j];//将 所经过的 (i,j) 点存入到 flag数组中 
		if(i==0 && j==0)	break;//回溯到原点，结束循环 
		if(prev[i][j]==0)	j--;//prev[i][j]==0，表示从左边点来的，所以 j--,回溯到左边点 
		else if(prev[i][j]==1)	i--;////prev[i][j]==1，表示从上边点来的，所以 i--,回溯到左边点 
	}
	
	//遍历经过的点 
	for(int i=cnt-1;i>=0;i--)
		cout<<flag[i]<<" "; 
	
	//输出最终的最小路径和 dp[m-1][n-1]
	cout<<endl<<dp[m-1][n-1]<<endl;
	return 0;
}

 希望能帮助到各位同志，谢谢！