数论：整除分块

Description

在下北泽大学读书的仙贝同学遇到了很麻烦的问题

对于X，函数f(X)表示X所有约数的和。

例如：f(8)=1+2+4+8=15。

对于一个X，仙贝很快算出f(X)。

仙贝不满足于此，给两个正整数X,Y(X<Y)，仙贝希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助仙贝算出这个值吗？

他说答对了有奖励，答错了有惩罚，请你帮帮他。

Input

输入文件仅一行，两个正整数X和Y(X<Y)，表示需要计算f(X)+f(X+1)+⋯+f(Y)。

Output

输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+⋯+f(Y)的值。

Sample Input 1 

114 514

Sample Output 1

206961

Sample Input 2 

2 5

Sample Output 2

20

Hint

数据范围1≤X<Y≤2×10^9

首先可以通过前缀和思维得出 ans = f(y)-f(x-1)

然后根据经验发现 因数 i 在1到y 中出现 y/i 次，所以贡献为 y/i * i

也就是计算 因数 i 出现的次数 乘 i ，然后把所有1 - y 所有计算结果相加

然后计算Σ(y/i*i)可以使用整除分块。

整除分块思想就是快速得出Σ(y/i)，模板如下，

ll f(ll n) {
	ll res = 0;
	int r = 0;
	for (ll l = 1; l <= n; l = r + 1) {
		r = min(n / (n / l ), n);
		res += (n / l) * (r - l + 1);
	}
	return res;
}

大概思路就是 n分别除以 1到 i 的所有结果中，相同结果总是挨在一起的，所以可以求相同结果的长度，然后直接求出 n/i 的所有相同结果的总和，所以直接遍历 1 到 i, l 为 n/i 相同结果区间的左端点，通过 n/(n/l) 求出右端点，然后就可以 (n / l) * (r - l + 1) 快速得出所有 n/i 相同的值。

回归原题，可以发现和整除分块思路相似， 变成了求 Σ(y/i*i)，思路转换一下， n/i 表示的是 因素 i 在1-n 中出现的次数，也就是上文提到计算公式前半部分，然后 l-r 的区间中的值表示的是所有 n/i 的值都相等的 i 的值，也就是模板中 n/i 所需要乘的 值从 (r - l + 1) 表示的区间长度变成了区间中的所有值的和，然后区间中的值显然为等差数列，公差为1，最小值首项为 l，最大值末项为 r，

那么可以直接通过等差数列求和公式（首项+末项)*项数/2 快速求出值，也就是(r - l + 1) * (l + r) / 2

AC code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f(ll n) {
	ll res = 0;
	int r = 0;
	for (ll l = 1; l <= n; l = r + 1) {
		r = min(n / (n / l ), n);
		res += (n / l) * (r - l + 1) * (l + r) / 2;
	}
	return res;
}

int main() {
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	ll res1 = f(a - 1), res2 = f(b);

//	long long res1 = 0, res2 = 0 ;
//	for (int i = 1; i  < a; i++) {
//		res1 += (a - 1) / i * i;
//	}
//	for (int i = 1; i  <= b; i++) {
//		res2 += b / i * i;
//	}
	cout << res2 - res1;
}