每日c/c++题备战蓝桥杯（疯狂的采药完全背包问题）-优快云博客

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题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

1. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

2. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 t 和代表山洞里的草药的数目 m。

第 2 到第 (m+1) 行，每行两个整数，第 (i+1) 行的整数 ai,bi 分别表示采摘第 i 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

数据规模与约定

对于 30% 的数据，保证 m≤1e3 。
对于 100% 的数据，保证 1≤m≤1e4，1≤t≤1e7，且 1≤m×t≤1e7，1≤ai,bi≤1e4。

思路分析

这个问题是一个典型的动态规划问题。我们可以用一个数组 f 来表示在时间 j 内可以采到的最大价值。动态规划的核心思想是逐步构建这个数组，直到达到总时间 T。

动态规划的状态定义

我们定义 f[j] 表示在时间 j 内可以采到的最大价值。我们的目标是求 f[T]。

状态转移方程

对于每种草药 i，它需要时间 ti 并提供价值 vi。对于时间 j，如果我们选择采摘这种草药，那么 f[j] 的值可以更新为：

f[j]=max(f[j],f[j−ti]+vi)

这意味着，如果我们在时间 j−ti 时已经采到了一些草药，再加上这棵草药的价值 vi，可能会得到更大的总价值。

初始化和边界条件

初始化：f[0]=0，表示时间为 0 时价值为 0。
边界条件：当 j<ti 时，无法选择这棵草药。

代码实现

下面是基于上述思路的代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
#include<string>
using namespace std;
long long int T, M;
long long int v[10005] = { 0 };
long long int Time[10005] = { 0 };
long long int f[10000005] = { 0 };//时间
int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> T >> M;
	for (int i = 1; i <= M; ++i) cin >> Time[i] >> v[i];
	for (int i = 1; i <= M; ++i)//几棵药
	{
		for (int j = 1; j <= T; ++j)
		{
			if(j>=Time[i])
			f[j] = max(f[j - Time[i]]+v[i], f[j]);
		}
	}
	cout << f[T];
	return 0;
}