Python人工智能 统计随机网络、小世界网络与无标度网络的节点度特征

实践1：统计随机网络、小世界网络与无标度网络的节点度特征

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一、随机网络

随机网络（Random Network）是一种经典的网络模型，其边的连接遵循随机分布。随机网络由数学家埃尔德什（P. Erdős）和雷尼（A. Rényi）提出，因此也被称为ER模型。在随机网络中，每个节点与其他节点的连接概率是相同的，且边的连接是独立的。这种模型适用于模拟均匀连接的场景，但缺乏真实网络的聚类特性。

1. 代码实现

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个含有25个节点、以概率p = 0.2连接的ER随机图：
G = nx.random_graphs.erdos_renyi_graph(25, 0.2)
# 布局
pos = nx.spring_layout(G)
# 画出网络模型
nx.draw(G, pos, with_labels=False, node_size=40)
# 分析
degree = dict(nx.degree(G))
print('各个点的度：', degree)
print("平均度为：", sum(degree.values()) / len(G))
print("最短路径长度为：", nx.average_shortest_path_length(G))
print("平均聚类系数为：", nx.average_clustering(G))

# 获取度分布
degreeDis = nx.degree_histogram(G)
x = range(len(degreeDis))  # 度范围
y = [z / float(sum(degreeDis)) for z in degreeDis]  # 度的频率
plt.figure(figsize=(6, 6))  # 调整显示参数
plt.xlabel("Degree", size=14)
plt.ylabel("P_degree", size=14)
plt.xticks(fontproperties='Times New Roman', size=14)  # 字体样式
plt.yticks(fontproperties='Times New Roman', size=14)  # 字体样式
plt.plot(x, y)  # 折线图
plt.show()  # 显示图像

2. 实验结果

• 网络属性

  • 节点度分布：{0:7, 1:6, …, 24:5}（完整分布见代码输出）
  • 平均度：4.96
  • 平均最短路径长度：2.08
  • 平均聚类系数：0.084

• 网络图及度分布图
  
  

3. 分析与总结

• 边的连接由概率 ( p=0.2 ) 随机决定，度分布接近泊松分布。
• 低聚类系数（0.084）和短平均路径（2.08）是随机网络的典型特征，适用于模拟均匀连接场景。

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二、小世界网络

小世界网络（Small-World Network）是一种介于规则网络和随机网络之间的网络模型。它由瓦茨（D. J. Watts）和斯托加茨（S. H. Strogatz）提出，因此也被称为WS模型。小世界网络通过引入一定的随机性，同时保留规则网络的高聚类特性，能够很好地模拟社交网络等实际系统的结构特征。

1. 代码实现

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
#绘图小世界网络
n=30 #节点数
k=5 #邻居数
p=0.5 #重新链接概率
G=nx.watts_strogatz_graph(n,k,p)
#定义布局
pos = nx.circular_layout(G)
nx.draw(G,pos,with_labels=False,node_size=40)
#绘图
plt.show()
#%%
#分析属性
print('网络直径为：', nx.diameter(G))
print('网络平均距离为：', nx.average_shortest_path_length(G))
print('网络平均群聚系数为：', nx.average_clustering(G))
print('网络群聚系数为：',nx.clustering(G))
#%%
# 绘制度分布图
d = dict(nx.degree(G))
print('点的度：',d)
print("平均度为：", sum(d.values()) / len(G.nodes))

x = list(range(max(d.values()) + 1)) #长度最大度＋1，表示度的范围
y = [i / sum(nx.degree_histogram(G)) for i in nx.degree_histogram(G)]#度的频率分布
print('度的分布：',x)
print('度的频率分布：',y)
plt.figure()
plt.bar(x, y, width=0.3, color="red")
plt.xlabel("$k$")
plt.ylabel("$p_k$")
plt.show()

2. 实验结果

• 网络属性

  • 网络直径：5
  • 平均最短路径长度：2.56
  • 平均聚类系数：0.176

• 度分布

  • 节点度分布：{0:2, 1:2, …, 29:5}（完整分布见代码输出）
  • 平均度：4.0
  • 网络图及度分布图：

3. 分析与总结

• 通过重连概率 ( p=0.5 )，网络在规则性与随机性之间取得平衡。
• 高聚类系数（0.176）和较短路径（2.56）体现“小世界”效应，适用于社交网络建模。

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三、无标度网络

无标度网络（Scale-Free Network）是一种具有幂律度分布的网络模型。它由巴拉巴西（A. L. Barabási）和阿尔伯特（R. Albert）提出，因此也被称为BA模型。无标度网络的特点是存在少数高度连接的“枢纽节点”，这些节点在维持网络的连通性和鲁棒性方面起着关键作用。无标度网络适用于分析互联网、生物网络等复杂系统。

1. 代码实现

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成一个含有100个节点、每次加入2条边的BA无标度网络
G = nx.random_graphs.barabasi_albert_graph(100, 2)

# 使用spring布局
pos = nx.spring_layout(G)

# 绘制网络图
nx.draw(G, pos, with_labels=False, node_size=30)

# 显示图像
plt.show()

# 分析网络属性
degree = dict(nx.degree(G))
print('各个点的度：', degree)
print("平均度为：", sum(degree.values()) / len(G))
print("最短路径长度为：", nx.average_shortest_path_length(G))
print("平均聚类系数为：", nx.average_clustering(G))

# 分析度的分布
degreeDis = nx.degree_histogram(G)
x = range(len(degreeDis))  # 表示度的范围
y = [z / float(sum(degreeDis)) for z in degreeDis]  # 度的频率

# 绘制度分布图
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.xlabel("Degree", size=15)
plt.ylabel("P_degree", size=15)
plt.plot(x, y)  # 折线图
plt.show()  # 显示图像

2. 实验结果

• 网络属性

  • 平均度：3.92
  • 平均最短路径长度：2.9
  • 平均聚类系数：0.147

• 网络图及度分布图

3. 分析与总结

• 度分布服从幂律分布，存在少数高度连接的“枢纽节点”（如节点1度数为30）。
• 短路径（2.9）和较高聚类系数（0.147）表明无标度网络兼具效率与鲁棒性，适用于互联网、生物网络分析。

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四、综合对比

网络类型	平均度	平均路径长度	平均聚类系数	度分布特性
随机网络	4.96	2.08	0.084	泊松分布
小世界网络	4.0	2.56	0.176	窄峰分布
无标度网络	3.92	2.9	0.147	幂律分布（长尾）

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五、实验结论

1. 随机网络

随机网络是一种基于均匀连接概率的网络模型，适用于模拟均匀分布的连接场景。它的特点是：

• 度分布：接近泊松分布，节点的连接较为均匀，没有明显的枢纽节点。
• 低聚类系数：节点之间的连接较为随机，缺乏真实网络中的局部聚类特性。
• 短路径长度：平均路径较短，信息传播效率较高。

随机网络虽然在理论上具有简洁性和可分析性，但它的局限性在于无法捕捉真实网络的复杂特性，例如社交网络中的高聚类现象或互联网中的枢纽节点。因此，随机网络更适合用于理论研究或简单系统建模。

2. 小世界网络

小世界网络是一种介于规则网络和随机网络之间的模型，具有以下特点：

• 高聚类系数：节点之间的局部连接较为紧密，类似于社交网络中“朋友的朋友也是朋友”的现象。
• 短路径长度：信息可以在网络中快速传播，体现了“小世界”效应。
• 度分布：呈现窄峰分布，大多数节点的度数相近，网络结构较为均匀。

小世界网络在实际应用中非常贴近社交网络、神经网络等复杂系统的结构特征。它通过引入一定的随机性，同时保留规则网络的高聚类特性，能够很好地模拟真实世界中的许多网络现象。例如，在社交网络中，小世界网络可以解释为什么人们可以通过少数中间人快速建立联系。

3. 无标度网络

无标度网络是一种具有幂律度分布的网络模型，其特点是：

• 幂律分布：存在少数高度连接的“枢纽节点”，这些节点在维持网络的连通性和鲁棒性方面起着关键作用。
• 短路径长度：信息传播效率高，路径长度较短。
• 较高聚类系数：节点之间具有一定的局部连接特性。

无标度网络广泛应用于互联网、生物网络等复杂系统的建模。它的枢纽节点特性使得网络对随机攻击具有较高的鲁棒性，但对针对性攻击（例如攻击枢纽节点）较为脆弱。例如，在互联网中，少数大型网站（如Google、Facebook）作为枢纽节点，维持了整个网络的连通性。如果这些枢纽节点被破坏，网络的连通性将受到严重影响。

4. 综合分析

通过对比三种网络模型，我们可以发现它们各自的特点和适用场景：

• 随机网络：适用于理论研究和简单系统建模，但缺乏真实网络的复杂特性。
• 小世界网络：兼具高聚类和短路径特性，适用于社交网络、神经网络等实际系统的建模。
• 无标度网络：通过枢纽节点实现了高效率和高鲁棒性，适用于互联网、生物网络等复杂系统的分析。

这三种网络模型在科学研究中具有重要意义。它们不仅帮助我们理解复杂网络的结构和特性，还为实际问题的建模和优化提供了理论基础。例如，在社交网络分析中，小世界网络可以帮助我们理解信息传播的效率；在互联网研究中，无标度网络可以指导我们设计更鲁棒的网络架构。

六、总结

综上所述，通过对随机网络、小世界网络和无标度网络的分析，我们深入探讨了它们的特性及应用场景。随机网络适用于理论研究，小世界网络贴近社交网络，无标度网络则在互联网等领域展现出独特优势。复杂网络理论为我们理解现实世界中的网络现象提供了有力工具，未来有望在更多领域发挥重要作用。希望本文的研究能为读者提供有益的参考和启发。