每日c/c++题 备战蓝桥杯（全排列问题）

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题目描述

按照字典序输出自然数 1 到 n 所有不重复的排列，即 n 的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

输入格式

一个整数 n。

输出格式

由 1∼n 组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。

每个数字保留 5 个场宽。

输入输出样例

输入 #1

3

输出 #1

    1    2    3
    1    3    2
    2    1    3
    2    3    1
    3    1    2
    3    2    1

说明/提示

1≤n≤9。

解题思路

问题分析

全排列问题是典型的递归应用场景，需要生成1到n的所有可能排列，且每个排列中的数字必须唯一。核心挑战在于如何高效地生成所有排列而不重复。

算法选择

采用深度优先搜索（DFS）结合回溯法：
1. DFS框架：逐步构建排列，每次选择一个未使用的数字加入当前序列
2. 回溯机制：通过标记数组记录已使用数字，递归完成后撤销选择以尝试其他可能性

实现步骤

1. 初始化标记数组：`hx[]`记录数字是否被使用
2. 递归函数设计：

• 参数`x`表示当前排列长度
• 终止条件：当`x == n`时输出完整排列
• 递归过程：

     - 遍历所有数字（1∼n）
     - 选择未使用的数字加入当前位置
     - 递归生成后续位置
     - 回溯时撤销当前选择

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int d[15]={0};
int hx[15]={0};
void dfs(int x)
{
	if(x == n) //可以输出
	{
		for(int i=0;i<n;++i)
		printf("%5d",d[i]);
		printf("\n");
	 } 
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		if(hx[i] == 0)
		{
			hx[i] = 1;
			d[x] = i + 1; 
			dfs(x+1);
			hx[i] = 0;
		}
	}
}
int main()
{

	cin>>n;
	
	dfs(0);
	
	return 0;
}

算法优化

1. 剪枝优化：虽然当前实现已满足要求，但可通过字典序剪枝进一步提升效率。当发现当前分支不可能产生更优解时，提前终止递归。
2. 迭代实现：对于n≤9的情况，递归实现足够高效。若需要处理更大规模问题，可考虑基于字典序的迭代生成算法。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n!) 全排列问题的时间复杂度为阶乘级
• 空间复杂度：O(n) 主要用于存储当前排列和标记数组

经验总结

本题展示了DFS+回溯在处理排列问题中的典型应用。通过维护标记数组保证元素唯一性，利用递归栈自然实现排列生成过程。掌握这种思维模式对解决组合优化、路径搜索等问题具有重要意义。后续可尝试将该方法扩展到解决带约束条件的排列问题（如错位排列、特定模式排列等）。