【Python 数据结构 13.邻接矩阵】

目录

一、邻接矩阵的概念

1.邻接矩阵的定义

2.无权图的邻接矩阵

例：

3.带权图的邻接矩阵

例：

4.邻接矩阵的优点

① 简单直观：

② 存储效率高：

③ 算法实现简单:

5.邻接矩阵的缺点

① 空间复杂度高：

② 不适合稀疏图 :

二、Python中的邻接矩阵

1.邻接矩阵数据结构实现

Ⅰ、邻接矩阵选择

Ⅱ、初始化逻辑

​Ⅲ、功能方法

2.测试用例

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露出点破绽吧，让我知道你也在想我

                                                        —— 25.3.10

一、邻接矩阵的概念

1.邻接矩阵的定义

        由于图是由顶点和边(或弧)两部分组成的。顶点可以用一个一维的顺序表来存储，但是边(或弧)由于是顶点与顶点之间的关系，一维搞不定，所以可以考虑用一个二维的顺序表来存储，而二维的顺序表就是一个矩阵。

        对于一个有 n 个顶点的图 G，邻接矩阵是一个n x n的方阵(方阵就是行列数相等的矩阵)。对于邻接矩阵而言，不需要去考虑是有向的还是无向的，统一都可以理解成有向的，因为有向图可以兼容无向图，对于无向图而言，只不过这个矩阵是按照主对角线对称的，因为 A 到 B 有边，则必然 B 到 A 有边。

        对带权图和无权图，邻接矩阵的表示略有差别

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2.无权图的邻接矩阵

        对于一个 n × n 的方阵 adj[n][n]，在这样一个矩阵里：

        ① 矩阵的行和列都对应图中的一个顶点

        ② 如果顶点 A 到顶点 B 有一条边（这里是单向的），则对应矩阵单元为 1

        ③ 如果顶点 A 到顶点 B 没有边（这里同样是单向的），则对应的矩阵单元就为 0

例：

        对于一个有四个顶点的无权图，首先需要有一个顺序表来存储所有的顶点（A、B、C、D），图的邻接矩阵如下“

        

从矩阵中我们可以看出：

        A 能够到 B、D；

        B 能够到 A、C；

        C能够到 B、D；

        D 能够到 A、C

        

        对于矩阵的主对角线的值 adj[0][0]、adj[1][1]、adj[2][2]、adj[3][3] 全为0、因为这个图中，不存在顶点自己到自己的边，adj[0][1] = 1 是因为 A 到 B 的边存在，而 adj[2][0] = 0 是因为 C 到 A  的边不存在，对于无向图而言，它的邻接矩阵是一个对称矩阵

        有了这个矩阵我们可以很容易的知道图中的信息

        ① 我们要判定任意两顶点之间是否有边就非常容易

        ② 我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点在邻接矩阵中 j 行的元素之和 

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3.带权图的邻接矩阵

         在带权图的邻接矩阵中，每个矩阵元素表示一个有向边的权值。如果不存在从一个节点到另一个节点的边，则通常将其表示为特殊的值，如0，-1或无穷。

例：

假设有一个有向带权图，它有 4 个顶点(A，B, C, D)，边及其权重如下:

        ①·边 A->B 的权重是3

        ② 边 A->C 的权重是7

        ③ 边 B->A 的权重是4

        ④ 边 B->D 的权重是1

        ⑤ 边 C->D 的权重是2

        ⑥ 边 D->A 的权重是1

我们可以将这个有向带权图表示为以下的邻接矩阵：

  A B C D
A 0 3 7 0
B 4 0 0 1
C 0 0 0 2
D 1 0 0 0

        在这个矩阵中，行表示起始顶点，列表示目标顶点。矩阵元素的值代表起始顶点到目标顶点的边的权重。如果没有边存在，我们用0来表示。

        例如：第一行表示从A到各点的边的权重，可以看出有从A到B的边，权重为3，有从A到C的边，权重为7，没有从A出发到达D的边，所以为0。

        当然，什么情况下不能用 0 来代表边不存在的情况?

        大多数情况下边权是正值，但个别时候真的有可能就是0，甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。 

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4.邻接矩阵的优点

① 简单直观：

        邻接矩阵是一个二维顺序表，通过矩阵中的元素值可以直接表示顶点之间的连接关系，非常直观和易于理解。

② 存储效率高：

        对于小型图，邻接矩阵的存储效率较高，因为它可以一次性存储所有顶点之间的连接关系，不需要额外的空间来存储边的信息。

③ 算法实现简单:

        许多图算法可以通过邻接矩阵进行简单而高效的实现，例如：遍历图、检测连通性等。

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5.邻接矩阵的缺点

① 空间复杂度高：

        对于大型图，邻接矩阵的空间复杂度较高，因为它需要存储一个 n x n 的矩阵，这可能导致存储空间的浪费和效率问题。

② 不适合稀疏图 :

        邻接矩阵对于稀疏图(即图中大部分顶点之间没有连接)的表示效率较低，因为它会浪费大量的存储空间来存储零元素。

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二、Python中的邻接矩阵

1.邻接矩阵数据结构实现

Ⅰ、邻接矩阵选择

        代码使用二维列表adj作为邻接矩阵，通过n×n的矩阵存储顶点间的边权。矩阵中每个元素adj[i][j]表示顶点i到顶点j的边权重，inf（即-1）表示两顶点间无边。这种实现方式适合稠密图，因为空间复杂度为O(n^2)，但查询边存在性的时间复杂度为O(1)。​

Ⅱ、初始化逻辑

        在构造函数__init__中，通过二重循环初始化全为inf的矩阵，确保所有顶点初始状态下互不相连

​Ⅲ、功能方法

① add_edge(u, v, w)：直接修改矩阵中对应位置的值为权重w，适合快速更新边权

② printGraph()：按行打印矩阵，便于调试时直观查看图结构

inf = -1

class Graph:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.adj = []
        # 通过二层循环初始化邻接表
        for i in range(n):
            l = []
            for j in range(n):
                l.append(inf)
            self.adj.append(l)

    # u：邻接矩阵的横坐标 v：邻接矩阵的纵坐标 w：权重
    def add_edge(self, u, v, w):
        self.adj[u][v] = w

    def printGraph(self):
        for i in range(self.n):
            for j in range(self.n):
                print(self.adj[i][j], end=' ')
            print()

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2.测试用例

inf = -1

class Graph:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.adj = []
        # 通过二层循环初始化邻接表
        for i in range(n):
            l = []
            for j in range(n):
                l.append(inf)
            self.adj.append(l)

    # u：邻接矩阵的横坐标 v：邻接矩阵的纵坐标 w：权重
    def add_edge(self, u, v, w):
        self.adj[u][v] = w

    def printGraph(self):
        for i in range(self.n):
            for j in range(self.n):
                print(self.adj[i][j], end=' ')
            print()

def Test():
    graph = Graph(5)

    graph.add_edge(0, 1, 1)
    graph.add_edge(0, 2, 2)
    graph.add_edge(1, 2, 3)
    graph.add_edge(1, 3, 4)
    graph.add_edge(2, 3, 5)

    graph.printGraph()

Test()