Kruskal重构树

前言

$\mathtt{Kruskal}$重构数，吼啊！
作者在血淋淋的经历中知道了一个道理，没有人能保证自己做出所有黄题。
当然这和此文章无关。

正文

$\mathtt{Kruskal}$ 重构树，顾名思义，重构 $\mathtt{Kruskal}$ 算法求出的最小生成树，比如我们有原图：

那么轻易可得出在 $\mathtt{Kruskal}$ 算法下的最小生成树（因为 $\mathtt{Prim}$ 算法和 $\mathtt{Kruskal}$ 算法下的最小生成树有可能是不同的！）：

此时呢，我们根据边权按照 从小到大 的顺序，以边权作为权值建立新节点，以原边连接的左右两点作为左右儿子，看不懂？那我们来试一下！首先是第一次选择，可以发现目前边权最小值是 $1$，所以我们选择 $(3,2)$ 这对点：

注意 $\mathtt{P}(1)$ 以 $1$ 为权值的点，此时我们继续进行，可以发现目前的最小权值还是 $1$ 且对应两点为 $(2,5)$ 此时问题来了，两点有重合点 $2$ 那该怎么办？简单，我们只需要把新建的节点作为 $(\mathtt{P})(1)$ 的父亲即可，于是就有了：

以这种方法一直下去，就可以得到最后的重构树：

此时，聪明的孩子就会说，这个东西有什么用啊，好问题，这玩意用处巨大！他有一个牛逼的性质：

• 图上任意两点 $x,y$ 之间经过边的权值的最小值 $=$ $\mathtt{Kruskal}$ 最小生成树上的 $x,y$ 路径上的最小值 $=$ $\mathtt{Kruskal}$ 重构树上 $\mathtt{lca}(\mathtt{x},\mathtt{y})$。
• 最大值同理。

这个性质给我们做题带来了巨大便利！