Kruskal重构树入门

Kruskal算法

众所周知，Kruskal是一种优秀的基于并查集的最小（最大）生成树算法。它的简要流程为：

• 将所有边按边权排序；
• 依次枚举所有边的两端点$u$和$v$，若它们不在一个联通块内，则将该边加入生成树的边集中，且将$u$、$v$合并于一个连通块中。

Kruskal重构树

定义

Kruskal重构树的定义（构造方式）：

• 一开始，各个结点都在一个以自己为根的连通块中；
• 执行Kruskal算法，重复以下步骤：
  • 把即将加入生成树边集的边，看做一个新点$x$，$x$的两儿子分别是$u$所在的连通块对应的根和$v$所在的连通块对应的根，$x$的点权是该边的边权；
  • 合并$u$、$v$，这个合并后的连通块的根是$x$。

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举个建树的例子（数据来自于BZOJ3545 [ONTAK2010]Peaks）：
注意，最开始的叶子结点的顺序不重要，这里为了好看，重新排列了一下。

性质

于是Kruskal重构树的定义就弄清楚了。
下面这个不是动图：

接下来看一下这个东西的性质（接下来只探讨最小生成树）：

• Kruskal重构树是一个二叉树；

废话。

• Kruskal重构树的叶子没有点权，其他点都有点权；

废话。

• Kruskal重构树是完全二叉树（除叶结点外，每个结点都有两个儿子）；

废话。

• 原图中的两点$u$、$v$在Kruskal重构树上的LCA的点权是原图中$u$到$v$的所有路径中最大边的最小值。

先考虑：由于是按边权从小到大插入的，所以某个非根非叶子结点的点权一定比它的父亲的点权小；
所以，$u$和$v$在Kruskal重构树上的LCA的点权，就是在最小生成树上的$u\to v$的路径（由于是树，所以是唯一路径）中的最长边；
又因为是最小生成树，所以满足这个最长边最小。

例题

两道板子题

A NOIP2013货车运输
B BZOJ3732 Network
这两道题利用上面的最后一个性质，输出LCA的点权即可。

当然，这两道题也可以直接用最小（最大）生成树来做，用一个倍增数组记录路径上边权的最大值（最小值）就行了。

下面是A题的两种方法的代码：

• Kruskal重构树（这道题可能不连通= =，详见下面注释的部分）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int read(){
   
    int x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=getchar();
    return f?-x:x;