LeedCode120 三角形最小路径和

题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示

• 1 <= triangle.length <= 200

• triangle[0].length == 1

• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1

• -104 <= triangle[i][j] <= 104

题解

这道题是一个典型的动态规划问题，首先先回顾一下动态规划类的问题如何解。

(1)划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。

 (2)确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。

 (3)确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。

(4)寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。

通过以上的步骤我们来解答一下这类经典问题：

确定状态转移方程：

每一步只能移动到下一行「相邻的节点」上，因此要想走到位置 (i,j)，上一步就只能在位置 (i−1,j−1) 或者位置 (i−1,j)。我们在这两个位置中选择一个路径和较小的来进行转移，状态转移方程为：f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+c[i][j]，其中c[i][j]表示位置(i,j)对应的值。

去除无意义的状态：

注意第 i 行有 i+1 个元素，它们对应的 j 的范围为 [0,i]。当 j=0 或 j=i 时，上述状态转移方程中有一些项是没有意义的。例如当 j=0 时，f[i−1][j−1] 没有意义，因此状态转移方程为：

f[i][0]=f[i−1][0]+c[i][0]
即当我们在第 i 行的最左侧时，我们只能从第 i−1 行的最左侧移动过来。当 j=i 时，f[i−1][j] 没有意义，因此状态转移方程为：

f[i][i]=f[i−1][i−1]+c[i][i]
即当我们在第 i 行的最右侧时，我们只能从第 i−1 行的最右侧移动过来。

最终的答案即为 f[n−1][0] 到 f[n−1][n−1] 中的最小值，其中 n 是三角形的行数。

确定边界条件：

f[0][0]=c[0][0]

具体题解如下所示：

 public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[][] f = new int[n][n];
        f[0][0] = triangle.get(0).get(0); // 初始化二维数组的起点
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = f[i - 1][0] + triangle.get(i).get(0); // 每行的第一个元素
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);
            }
            f[i][i] = f[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i); // 每行的最后一个元素
        }
        int minTotal = f[n - 1][0];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            minTotal = Math.min(minTotal, f[n - 1][i]);
        }
        return minTotal;
    }