矩阵分析-线性子空间及其定理整理

邪恶的贝利亚

于 2024-09-23 18:03:49 发布

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分类专栏：矩阵分析文章标签：矩阵机器学习线性代数

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1.基础概念

线性子空间定义：假如V是一个线性空间，L是V的非空子集，如果L对V中所定义的的加法和数乘两种运算构成线性空间，则称L是V的子空间。

平凡子空间:{0}(零元素),V(F)

非平凡子空间：其他子空间

交： $U\bigcap W=\left \{ \right.X|X\in U and X\in W\left. \right \}$

和： $U+W=\left \{ \right.X=|X=u+w\left. \right \}$

直和： $U\bigcap W=0$ 和称为直和

提醒：由于并集一般不构成线性子空间，所以一般不考虑

2.定理解析

定理一：

$X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 为V(F)的一个向量组, $T=\sum_{i=1}^{m}a_{i}X_{i}$ 则称T是由 $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ 生成的子空间，记作 $L(X_{1},X_{2},...,X_{n})$

子空间的维数等于该该向量组的秩序: $dim[X_{1},X_{2},...,X_{n}]=rank[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$

子空间相等的充要条件是两向量组相互表示

定理二：

1.交相对于和的分配律一般不满足： $U\bigcap(W+V)\neq U\bigcap W+V\bigcap U$ ,满足其他运算律

2.U+W是直和与下面三个条件等价：

1. $Z\in U+W$ 表达式唯一

2.dim(U+W)=dim(U)+dim(W)

3. $X_{1},X_{2},...,X_{n},Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}$ 分别是U,W的基， $X_{1},X_{2},...,X_{n} Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}$ 是U+W的基

4.dimU+dimV=dim(U+V)+dim( $U\bigcap V$ )(dim(U+V)

定理三：

1.设 $\sigma :V(F)->U(F)$ 的线性映射

则 $\sigma (W_{1}+W_{2})=\sigma(W_{1})+\sigma(W_{2})$

$\sigma (W_{1}\bigcap W_{2})\in \sigma(W_{1}) \bigcap \sigma(W_{2})$

2. $ker(\sigma)=\left \{ X|\sigma(X)=0 \right \}$ (称为核和化零空间)

且 $dim(\sigma(V(F)))+dim(ker(V(F)))=n$

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