Manacher 算法（C++实现）

本文实现 Manacher 算法案例，用于求解字符串中的最长回文子串。

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问题描述

给定一个字符串 s，如何高效地找到其中的最长回文子串？

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算法思想

Manacher 算法是一种基于中心扩展法和动态规划的算法，其核心思想是通过维护一个回文半径数组 p，避免重复计算。具体步骤如下：

1. 将字符串 s 转换为添加分隔符的形式（如 #a#b#a#），以统一处理奇偶长度的回文子串。
2. 维护一个回文半径数组 p，其中 p[i] 表示以 i 为中心的最长回文半径。
3. 利用已知的回文信息，快速扩展当前中心的回文半径。
4. 最终，max(p) - 1 即为最长回文子串的长度。

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C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

// Manacher 算法实现
string longestPalindrome(string s) {
    // 预处理字符串
    string t = "#";
    for (char ch : s) {
        t += ch;
        t += "#";
    }

    int n = t.size();
    vector<int> p(n, 0); // 回文半径数组
    int center = 0, right = 0; // 当前回文中心和右边界
    int maxLen = 0, maxCenter = 0; // 最长回文子串的长度和中心

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 利用对称性快速初始化 p[i]
        if (i < right) {
            p[i] = min(right - i, p[2 * center - i]);
        }

        // 尝试扩展回文半径
        while (i - p[i] - 1 >= 0 && i + p[i] + 1 < n && t[i - p[i] - 1] == t[i + p[i] + 1]) {
            p[i]++;
        }

        // 更新回文中心和右边界
        if (i + p[i] > right) {
            center = i;
            right = i + p[i];
        }

        // 更新最长回文子串信息
        if (p[i] > maxLen) {
            maxLen = p[i];
            maxCenter = i;
        }
    }

    // 提取最长回文子串
    int start = (maxCenter - maxLen) / 2;
    return s.substr(start, maxLen);
}

int main() {
    string s = "babad";
    string result = longestPalindrome(s);

    cout << "最长回文子串是: " << result << endl;

    return 0;
}

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关键解析

1. 时间复杂度：O(n)，其中 n 是字符串的长度。
2. 空间复杂度：O(n)，用于存储回文半径数组。
3. 适用场景：
   • 查找字符串中的最长回文子串。
   • 需要高效处理大规模字符串。

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输出示例

最长回文子串是: bab

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总结

Manacher 算法是一种高效的最长回文子串查找算法，通过利用回文对称性和动态规划的思想，避免了重复计算。