[数据结构和算法01]一篇文章让你深刻理解异或

前言

最近在学习数据结构和算法，觉得这部分知识偏数学方面、偏思考，需要记录下来反复观看思考、总结才能掌握，遂决定做成一个系列，这是第一篇，我会坚持更新下去的,由于就是将平时所学记录下来，所以不会咬文嚼字的抠概念，列表格数据，而是直接上干货，希望我的分享可以帮助到大家。也希望大家多多支持

一.异或运算

1.什么是位运算

这是一个位运算，所谓位运算，就是对二进制位的运算，我们知道在计算机中存储的所有东西归根结底都是0/1这样的二进制序列，最直观的就是数字，比如我们在java（或者C/C++）中定义的int，它占了32个bit位，这个位的取值只能是0或者1，逢2进位，和我们十进制逢10进位是一个道理。

2.什么是异或运算

异或运算是一种运算，它的操作数有两个，结果会得到一个数，它对两个数的二进制进行比较，如果二进制位数对应相同，比如 1 和 1 或者 0 和 0，那么异或结果就是0，也就是相同为0；如果二进制位对应不同，比如 1 和 0（0和1），那么异或结果就是1，也就是不同为1。

a异或b写作a^b(就是电脑键盘上6那个键按住shift）

画图举个例子：

还有第二种理解异或的方式，这种方式我觉得是神来之笔，以前我只知道上面的相同为0，不同为1，这个其实还挺抽象的，特别是写一些算法题的时候。

那么第二种理解就是，可以把异或运算理解为无进位相加，比如上面的例子，1和0异或为1+0=1，0和0异或为0+0=0，而1和1异或为1+1=0，因为不能进位，所以直接变成0，这个是有关二进制加法的东西，两个1相加，这一位就变成0了，而且要进一位到前面，但这里是无进位相加，一定要记住。

有了这个理解，就可以轻易的理解很多东西了，比如下面两个：

a ^ 0 = a;

a ^ a = 0;

怎么解释？第一个:a和0异或，无进位相加！！a的每一位加上0，那不等于没变吗，所以还是a。

第二个:a和a自己异或，无进位相加！！位数是1的那些位异或1（也就是异或自己），根据无进位相加，变为0；位数是0的那些位异或0，还是0，所以全都变成0了，最终结果就是0。上面两个是很常用的，需要理解。

还要知道异或满足两个运算律：

交换律：a ^ b = b ^ a

结合律： (a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)

只要你接受了我前面说的异或就是无进位相加，那就很好解释了，两个数相加，交换律和结合律能不满足吗？

异或还有一个用途，就是可以交换两个数：

int a = 甲；

int b = 乙；

具体算法是这样的：

a = a ^ b;

b = a ^ b;

a = a ^ b;

解释：

第一步： a = 甲 ^ 乙  b = 乙

第二步： a = 甲 ^ 乙  b = 甲 ^ 乙 ^ 乙（前面说了自己异或自己是0，0异或任何数是这个数本身，所以b = 甲）

第三步： a = 甲 ^ 乙 ^ 甲(实际上就是乙) b = 甲

这就完成交换了，这比我们平常使用一个中间变量要好一点，不用开辟新空间了，两个数倒腾一下就实现交换了

二.练习题

 ok，理解了上面就可以写一些题目了，比如：

简单题：

1.面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode）

我说说我的想法，这里要找消失的一个数字，并且给了范围是0~n之间的数，那我们怎么找？可以使用异或操作，其实就是上面两个式子，下面给出结果并解释：

class Solution {

    public int missingNumber(int[] nums) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
            res ^= i;
            res ^= nums[i];
        }
        res ^= nums.length;
        return res;
    }

}

解释：定义res用于存异或后的结果，我们要找出0~n中消失的数，我们知道，一个数只要被异或两次（比如 a^a)，那么根据无进位相加，他就会变为0，而这个0对于异或操作完全没有任何影响，所以我们要数组中的数全部异或两次，那么剩下来的那个一定就是缺少的

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2.也是个简单题，和上面差不多，题目不贴了，大概说的就是，数组里面有一堆数，有一个数出现了奇数次，其他都出现了偶数次，求出这个数：

这个太简单了，用异或，把数组中的数全部进行异或，偶数的数都会变成0，因为自己异或自己总能找到配对的嘛，所以只有那个奇数出现的数会剩下来，这就是答案 

结果： 

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3.第三题，这道题比较难，但和上面差不多；

题目：有一堆数，有两个不同的数出现奇数次，其他都出现偶数次，请你找出这两个数；

如果我们还是用上面的代码是无法完成的，因为他异或完只是一个数，比如：

你这样得到的是7 ^ 9的结果，那我们怎么找出这两个数呢？

这里就得好好分析了，

1.首先，我们已经知道，把整个数组异或后得到的就是这两个出现奇数次数字异或的结果，我假设这两个数就是a和b，那么结果得到的就是 eor = a^b;

2.题目要求a和b是不同的，那么我们就一定知道eor != 0,因为只有相同的数异或才是0，

3.那么既然eor ！= 0，那我是不是可以说eor的二进制位一定有一位是1（不可能全0），我假设就是第五位是1

4.那就说明，a和b的第五位肯定不同，这样他们异或出来的结果才有可能是1

5.因为a和b第五位一定不同，那我就可以画出这张图：

这张图代表了，数组中第五位为0和1的数的分类，a和b一定在两侧，不可能在同一侧，所以我定义变量 int eor2，用eor2只去异或第五位为1的数，那么偶数次出现的数中第五位为1的依旧会全部抵消，因为它们都是成对出现的，而只会剩下来一个数，这个数就是a或者b，当我们已经知道其中一个了，又知道a^b的结果了，用a^a^b或者b^a^b就可以知道另外一个了

总结：这里的精髓就在于，根据eor不为0，得出一定有一位是1，而这一位是a和b异或的结果，说明在这个位上a和b的二进制位是不一样的，所以我这里再对数组中的数进行异或，只不过这次我只异或这一位是1的数，而偶数出现的依旧抵消，不会影响最终结果，最终剩下来的只能是a或者b这种出现奇数次的。

那么我们的问题是怎么拿出这个a^b中的值位1的这个位呢？ 可以采用一个算法，它可以求出二进制位中最右边的1

int rightOne = eor & （~eor + 1）；

eg：

这个就可以取出最右侧的1即为rightOne，那我们拿到之后只需要用这个对数组中的数进行&运算，如果&出来的结果就是rightOne，就说明这个数的这一位是1，那么就允许它参与异或运算：

public class Text {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 1, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9};
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            res ^= arr[i];
        }
        int rightOne = res & (~res + 1);//取出最右边的1;
        int a = 0;
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if ((arr[i] & rightOne) == rightOne) {
                a ^= arr[i];
            }
        }
        System.out.println("两个数分别为:" + a + "和" + (res ^ a));

    }
}

运行结果如下：

解释：最主要的是第二个for里面的if条件，它的意思是：用数组中的每一个数去&上rightOne，这个rightOne前面说过了它的二进制位除了res最右侧的1外其余全是0，所以让rightOne与数组中每一个数去进行&操作，只有与rightOne的1的位置相同的数才能进去if条件里面去参与异或运算：

图示：

这里还有个知识就是通过&运算你可以判断某一位是不是1或者0，比如这里通过&运算，我们知道了arr[0]的这一位是1，而arr[1]的这一位是0 

如果你耐心看到这，相信你对^运算有了全新的认识，希望我的分享能帮助到大家，谢谢阅读，下一期是关于排序的，马上更新！