[数据结构和算法02]约瑟夫环问题看这篇就够了！！！

最新推荐文章于 2025-04-03 15:07:32 发布

生物鬼才孟德尔

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文章标签：数据结构

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_73104158/article/details/134146742

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本文详细介绍了约瑟夫问题的背景、使用单向环形链表的解决方案，包括构建环形链表、遍历链表以及模拟报数过程，最终找出最后剩下的那个人。

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本来第二期是要更新排序的，但是发现明天学校的算法课实验是有关约瑟夫问题的，这个问题还蛮有意思的，觉得可以加更一期，话不多说，开始！

一.什么是约瑟夫问题

已知n个人(以编号1,2.3..n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为K的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列;依此规律重复下去，直到只剩下一个人为止。

以上这个问题就是约瑟夫环，我们的目标是找到剩下的那一个人，其实这个问题很常见，某些桌游就是这样的（具体是哪个忘记了）；再比如丢手帕，也是围成一个圈然后不断地传递手帕，其实这都是约瑟夫环问题；

解决这个问题的数据结构实际上就是一个单向链表，不过和普通的单向链表不一样，这个单向链表的首尾是相连的，也就是说这是一个环形链表，所以我们要先构建一个环形链表。

二.构建单向环形链表

1.Node类

首先把链表的结点定义出来，这个类有两个属性，和以前的链表一模一样，一个存编号，一个存下一个结点的引用：

package com.jtl.joseph;
/**
 * @description:单向环形链表的每个结点
 */

public class Node {
    private int no;
    private Node next;
    public Node(int no){
        this.no = no;
    }
    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public Node getNext() {
        return next;
    }

    public void setNext(Node next) {
        this.next = next;
    }
}

没什么好说的，给相应的set、get方法就行了。

2.构建环形链表

然后我们就可以构建环形链表了，在这里我先画个图，解释一下环形链表是长啥样的，方便后面解释分析：

所以我们就可以得到怎么构建上面这个环形链表的思路：

1.先new第一个结点，然后定义first指针指向该节点，而且要形成环形结构（也就是说即使只有一个结点，它的next不能为空，也应该为first）

2.后面每次创建一个新的结点，就把该结点加入到环形链表中就可以了，这里加入的时候要用一个辅助指针来记录first的位置，因为咱们的first是不能随便改变的

具体实现：

package com.jtl.joseph;

/**
 * @description:代表单向环形链表
 */

public class CircleLinkedList {
    private Node first = null;//头结点;
    
    //addNode方法，构建一个长度为nums的环形链表
    public void addNode(int nums){
        if(nums < 1){
            System.out.println("不能创建大小 < 1的环形链表!!!!");
            return;
        }
        Node temp = null;//辅助指针，方便插入结点
        for(int i = 1; i <= nums; i++){
            Node node = new Node(i);//创建新的结点并把i的值赋值给编号
            if(i == 1){
                //说明这是第一个结点，就让环形链表的first指向这个结点
                first = node;
                first.setNext(first);//形成环状结构
                temp = first;//temp记录第一个结点的位置
            }else{
                //如果不是第一个结点，就代表要开始插入结点了
                temp.setNext(node);
                node.setNext(first);
                temp = node;
            }
        }
    }
}

这里有必要解释一下else里面发生的事情，让我来打开画图板细细道来：

首先，第一个if只有创建第一个结点的时候会走，此时是这样的：

接着继续new结点，这个时候就是第二个结点(设为node2)的加入了，此时是这样的：

这就是else里面干的事情，首先先把原先temp指向的结点的next设置为新结点的引用，然后把新结点的next设置为first，此时就形成了环形链表的结构，然后记住temp需要移动位置，指向最后一个结点，那么下一次就大同小异了嘛。

3.遍历环形链表

那么得到了环形链表之后，我们需要遍历输出环形链表来看看长啥样，这个时候就需要遍历整个环形链表，其实也很简单，我们也借助一个辅助指针temp，让它不断移动，当它指向结点的next值为first的时候，不久遍历到最后一个结点了吗？

  //遍历环形链表
    public void printAllNode(){
        if(first == null){
            System.out.println("此环形链表没有任何结点，无法输出！！！！");
            return;
        }
        Node temp = first;
        while(true){
            System.out.printf("结点的编号值%d \n",temp.getNo());
            if(temp.getNext() == first){
                System.out.println("环形链表遍历完毕！！");
                break;
            }
            //temp后移一个位置
            temp = temp.getNext();
        }

这个方法就可以把所有的结点拿出来并输出，首先进行判断，没有结点直接不玩了，然后设置辅助指针为temp指向first，然后在一个死循环中遍历输出每一个结点的编号，循环结束的条件是当temp的下一个位置为first的时候，遍历结束。

4.求出最后剩下的那个人

有了前面的铺垫，我们就可以开始真正解决这个问题了，我们再来看看这个问题：

我们可以写一个方法来解决，这个方法可以求出最后一个人是谁，而且还可以把出列的顺序给拿到，题目给了n个人，然后还给了从第k个位置报数，每次数m下，这三个就是这个方法的参数：

我们还是来分析一下：

我们还是定义一个辅助指针，它的位置指向环形链表的最后一个位置（这里是5）,然后我们假设从编号为1的这个人开始报数，数两下，（1）代表数的第一下，（2）代表数的第二下，此时first的位置就到2了，刚好是要出列的人的位置，然后temp同步移动，始终在fist后一个位置

那么这样做的意义是什么？其实就是要处理出列的操作：

first = first.next;

temp.next = first;

上面两句就完成了编号为2这个结点的出列，图示如下：

出列操作的图示

此时2这个结点就被回收了，等同与出列，新的环形链表将不再有编号为2的元素

具体实现：

public void countNode(int startNo,int countNum, int total){
        if(first == null || startNo < 1 || startNo > total){
            System.out.println("参数错误！！！！");
            return;
        }
        Node temp = first;
        while(true){
            //把temp设置为最后一个结点的引用
            if(temp.getNext() == first){
                break;
            }
            temp = temp.getNext();//不断后移
        }

        for(int i = 0; i < startNo - 1; i++){
            //如果从5开始报数，那就把first和temp移动4个位置，分别指向5这个结点和它的前一个位置
            //先让first和temp移动到起始报数的那个位置
            first = first.getNext();
            temp = temp.getNext();
        }

        while(true){
            if(temp == first){
                break;//说明只有一个结点了
            }
            for(int i = 0; i < countNum - 1; i++){
                //报数2次，移动1下，因为自己还要叫一下数
                first = first.getNext();
                temp = temp.getNext();
            }
            System.out.printf("结点%d出列\n",first.getNo());
            //具体的出列操作：first指向下一个位置，前一个位置又指向这个位置
            first = first.getNext();
            temp.setNext(first);
        }
        System.out.printf("最后剩下来的结点编号为:%d\n" + first.getNo());

    }

最终测试结果，应该是没问题的：