CINTA——6

CINTA——6

第一题

利用中国剩余定理，解法如下：

1、记 $a=8,b=3,p=11,q=19,n=11\cdot 19=209;$

2、使用egcd算法求解$p^{-1}$和$q^{-1}$,它们分别使$p{p}^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}q)$,$q{q}^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。得到$p^{-1}=7,q^{-1}=7(or-4)$
（注意：乘法逆元并不唯一，可以为正，也可以为负，不影响最后的求解结果）
但是在群里面，群元素的乘法逆元唯一
3、令$x=aq{q}^{-1}+bp{p}^{-1}(\mathrm{mod}n)$，解得$x=41$
特别注意运算的最后不要忘记$(\mathrm{mod}pq)$
4、经验证可得：$x$是正解。

第二题

根据中国剩余定理的推广版：
其实，思路和正常的中国剩余定理是相同的，只不过乘法逆元求得是对剩下元素乘积的逆元 （其实也可以看作一个，最后总会算成一个来求解的），而不单单是一个元素了
存在$M=5\cdot 7\cdot 9\cdot 11$,使得方程组模$M$有唯一解
$$x=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_i{b}^{-1}(\mathrm{mod}M)$$
其中，$b_i=M_i/m_i$，且存在$b_i^{-1}$使得$b_i{b}_i^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$

根据egcd算法可以求得$b_i$的值


$(7\ast 9\ast 11)\cdot b_1^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}5)$

$(5\ast 9\ast 11)\cdot b_2^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

$(5\ast 7\ast 11)\cdot b_3^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}9)$

$(5\ast 7\ast 9)\cdot b_4^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$

得：$b_1^{-1}=2$, $b_2^{-1}=3$, $b_3^{-1}=4$, $b_4^{-1}=8$


故$x=1\ast 7\ast 9\ast 11\ast 2+2\ast 5\ast 9\ast 11\ast 3+3\ast 5\ast 7\ast 11\ast 4+4\ast 5\ast 9\ast 7\ast 8(\mathrm{mod}5\ast 7\ast 9\ast 11)$,得:$x=1731$。

第三题

本题考查代数版本下的中国剩余定理：其实用数论版本下的中国剩余定理也可以做，只不过用代数版本的话会简单许多

设 n = pq，p和g是两个互素的正整数。给定一个任意正整数x，它可以表达为一个唯一的序对: $([x(\mathrm{mod}p)],[x(\mathrm{mod}q)])$

221可以分为13*17，17与13互素，x即为2000，故$x\leftrightarrow (11,11)$,故$2000^{2019}(\mathrm{mod}221)\leftrightarrow (11,11{)}^{2019}(\mathrm{mod}221)=([11^{2019}(\mathrm{mod}13)],[11^{2019}(\mathrm{mod}17)])$

再根据费尔马小定理，则上式等于$([11^{168\ast (13-1)+3}(\mathrm{mod}13)],[11^{126\ast 16+3}(\mathrm{mod}17)])=([11^3(\mathrm{mod}13)],[11^3(\mathrm{mod}17)])=(5,5)$

$(5,5)\leftrightarrow 5$,故$2000^{2019}(\mathrm{mod}221)=5$

通过做题可以总结出一点规律：如果代数版本下的求解结果里面两个位置的数是完全相同的，那么最后的转换成一个数的结果就是这个数

第七题

from functools import reduce
#利用egcd算法求逆元
def egcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        g, x, y = egcd(b, a % b)
        return g, y, x - (a // b) * y
#中国剩余定理求唯一解
def CRT(n, a):
    sum = 0
    prod = reduce(lambda a, b: a*b, n)
#reduce函数用于计算列表n中所有元素的乘积。lambda a, b: a*b是一个匿名函数，它接受两个参数a和b，并返回它们的乘积。
    for n_i, a_i in zip(n, a):
        p = prod // n_i
        g, x, y = egcd(p, n_i)
        sum += a_i * y * p
    return sum % prod
#定义主函数
def main():
    n = [3, 5, 7]#3同余5mod7
    a = [2, 3, 2]#2同余3mod2
    result = CRT(n, a)
    print("同余方程的解为：", result)
if __name__ == "__main__":
    main()