CINTA——5

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第九章

第五题

首先证明充分性：

已知群G是一个阿贝尔群，则根据题意有：$\forall a,b\in G$,$\varphi (ab)=(ab{)}^2=(ab)(ab)=abab$;因为G是阿贝尔群，所以$abab=aabb=a^2{b}^2$,满足$g\mapsto g^2$,故群$G\mapsto G$是满足群同态得证。

接着，证明必要性：

已知G满足群同态，所以有$\forall a,b\in G$,$\varphi (ab)=(ab{)}^2=a^2{b}^2$,即$abab\iff a^2{b}^2$,也即$abab\iff aabb$,所以群G满足交换律，是一个阿贝尔群。

综上得，$\varphi$是一种群同态当且仅当$G$是阿贝尔群得证。

第六题

①循环群的证明：

设g群G的生成元，根据题意，要证$\varphi (G)$即$<\varphi (g)>$也是循环群，$\varphi (g)$是群$\varphi (G)$的生成元，但是现在我们不能就已经确定，里面的$g$就是群$G$的生成元（或者说$\varphi (g)$是由$g$映射过来的并且是生成元），我们只知道$\varphi (g)$是群$\varphi (G)$的生成元，还不知道$g$与$\varphi (g)$的区别。

根据循环群的定义，就是要证明$\forall a\in \varphi (G)$，都有$a=\varphi (g{)}^n,n\in Z$

我们已知群同态，则$\forall a\in \varphi (G)$，都有$\forall b\in G$，使得$a=\varphi (b)=\varphi (g^n)$，根据群同态继续有$\varphi (g^n)==\varphi (g.g.\cdots g)=\varphi (g)\varphi (g)\varphi (g)\cdots \varphi (g)=\varphi (g{)}^n$，即对于$G$中的任意元素，都会映射在$\varphi (G)$上有以$\varphi (g)$为生成元的n次方上，这里我们才可以说$\varphi (g)$是由群$G$的生成元映射过来的并且还是生成元。证毕。
②交换群的证明：

由题意得：即证明$\forall a,b\in \varphi (G),有ab=ba$;则设a=$\varphi (g_1),b=\varphi (g_2)$，ab$\Rightarrow$$\varphi (g_1)\varphi (g_2)$,根据群的同态性，有$\varphi (g_1)\varphi (g_2)=\varphi (g_1{g}_2)$;又因为G是阿贝尔群，所以有$g_1{g}_2=g_2{g}_1$,所以$\varphi (g_1{g}_2)=\varphi (g_2{g}_1)$;

同理，因为ba$=\varphi (g_2{g}_1)$,所以$ab=ba$，故$\varphi (G)$是交换群得证。

不可以按下面这种思路来证明：
$\forall a,b\in G$，因为有$ab=ba$，所以证明$\varphi (ab)=\varphi (ba)$即可

该思路错在两点：一点是不能证明说有$ab=ba$，那么它们映射过去的两个$\varphi (ab)$和$\varphi (ba)$就相等，应该从$\forall a,b\in \varphi (G),ab=ba$思路出发才可以。第二点是：上面那个思路走不下去嘿嘿。

第七题

ps:本题与作业四中第八章第三题一样，再根据正规子群得定义即可证得

由题意得：$\left[G:H\right]=2$,此时G有两个子群

第一种情况：$①\forall g\in G,h\in H$,如果$g\in H$,有$gh\in H$,故$gH=H$,同理，$Hg=H$,故$gH=Hg$;

第二种情况：$②g\in G且g\notin H$,则$gH=G-H$,同理得：$Hg=G-H$,所以$gH=Hg$

综上再根据正规子群的定义即可得证

第八题

由题意得：即证明：$\forall a,b\in G/H$,有$ab=ba$

$\forall a,b\in G/H，\exists g_1,g_2\in G$,使得$a=g_{1}H,b=g_{2}H$,接下来根据我们所想要证得结果，让a*b$\Rightarrow (g_{1}H)(g_{2}H)$。

再根据商群的良定义性，$(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_1{g}_2)H$；因为$G$是阿贝尔去群，所以有$g_1{g}_2=g_2{g}_1$,所以$(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_1{g}_2)H=(g_2{g}_1)H=(g_{2}H)(g_{1}H)$,故商群$G/H$是阿贝尔群得证。

第九题

我们已知$G$是循环群，则设g是群$G$的一个生成元，则$\forall a\in G/H$,都有$g_1\in G,a=g_{1}H$因为$G$是循环群，则继续有$a=g_{1}H=g^{n}H=(gH{)}^n,n\in Z,$表明商群G/H的每一个元素都是由生成元$gH$循环生成的，其中$g$是群$G$生成元，所以$G/H$是一个循环群得证。