CINTA——3

CINTA作业三

第六章课后习题

第七题

思路：

首先，因为我们要证明x（这里设g0g1g2g3g4g5…为x）的逆元是$x^{-1}$;

其次，我们已知G为群；

所以我们就可以利用群的性质中的关于逆元的性质了：

$a$*$a^{-1}$=e

题解：

设x=g0g1g2g3g4…$g_n$,故x$\in$G，因此x也满足群公理

因此，$x$$\cdot$$x^{-1}$=$e$

$\Rightarrow$g0g1g2…$g_n$$\cdot$$x^{-1}$=e;

$\Rightarrow$g0g1g2…$g_{n-1}$=e$\cdot$$g_n^{-1}$（这里左乘和右乘都可以证出来！）

通过一系列两边同时乘以x中的最后一个因式的逆，最终得到如下结果：
$\Rightarrow$$x^{-1}$=$g_n^{-1}{g}_{n-1}^{-1}\dots g_0^{-1}$

故得证

或者通过结律来证明$g_0{g}_1\dots g_n(g_n^{-1}{g}_{n-1}^{-1}\dots g_1^{-1})=e$
$g_0{g}_1\dots (g_n{g}_n^{-1})g_{n-1}^{-1}\dots g_1^{-1}=e$
$g_0{g}_1\dots (g_{n-1}{g}_{n-1}^{-1})\dots g_1^{-1}=e$
$⋮$
$e=e$得证

第八题

思路：

很简单，要证明两个子群的交集仍是群，就要证明这个子群满足群公理

题解如下:

①、证明封闭性：

因为G1是群，所以对于a，b$\in$G1,有a$\cdot$b$\in$G1;同理，对于G2，有$a_2$$\cdot$$b_2$$\in$G2;所以，对于$a_3$,$b_3$$\in$G1$\cap$G2,又因为$a_3$$\cdot$$b_3$$\in$G1，同时，$a_3$$\cdot$$b_3$$\in$G2，所以，$a_3$$\cdot$$b_3$$\in$G1$\cap$G2

②、证明结合律：

对于a,b,c$\in$G1,有（a$\cdot$b）$\cdot$c=a$\cdot$(b$\cdot$c);对于$a_1,b_1,c_1$$\in$G1,有（$a_1$$\cdot$$b_1$）$\cdot$$c_1$=$a_1$$\cdot$($b_1$$\cdot$$c_1$);所以对于任意的$a_2,b_2,c_2$$\in$G1$\cap$G2,有($a_2$$\cdot$$b_2$)$\cdot$$c_2$=$a_2$$\cdot$($b_2$$\cdot$$c_2$)

③、证明单位元：

设群G的单位元是e，则因为G1是G的子群，则G1的单位元也是e，同理G2的单位元也是e。
若e$\in$G1并且e$\in$G2,那么e$\in$G1$\cap$G2

④、证明逆元：

对于x$\in$G1$\cap$$G2$,有a$\in$G1,a$\in$G2;因为G1为群，所以$\exists$$a^{-1}$$\in$G1,根据逆元的唯一性定理,$a^{-1}$$\in$G2,故$a^{-1}$$\in$ G1$\cap$G2

此处仍有疑问，期末回过头来看感觉不是很正确

第九题

思路：

利用群中对乘法的封闭

题解如下：

$\forall$a,b$\in$G1,有a$\cdot$b$\in$G1;如果b不在G1中，那么a$\cdot$b就不一定属于G1了，也不一定属于G2，和G1$\cup$G2；同理，$\forall$a,b$\in$G2,也是一样；
故证伪 。
此处仍有疑问，期末回过头来看感觉不是很正确
另一种思路：采用构造法，构造两个加法群2Z和3Z，则它们都是群Z的子群
它们的并集为$2Z\cup 3Z$，里面的元素应满足要么是2的倍数要么是4的倍数，要么是2和3的公倍数。
如果并集也为子群，则根据命题6.10，并集也对群Z的加法操作也满足封闭性。
先试试举反例：
取$2\in 2Z,3\in 3Z$,则如果并集是Z的子群，则应满足封闭性，有$5=2+3\in 2Z\cup 3Z$，但是5既不是2的倍数，也不是3的倍数，与上面的前提矛盾。故并集不是Z的子群。故原命题证伪。

第十题

思路：

笔者不清楚本体群HK的含义，个人理解为先后顺序，因为涉及到阿贝尔群肯定会用到交换律，从其他大佬处获得思路

题解如下：

思路：利用命题6.9来证明是不是子群
首先，先证明HK是非空集合：因为H是G的子群，K是G的子群，则G的单位元 $e\in H$，也$\in K$,则 $ee=e\in HK$中,故HK为非空集合。
其次，证明$a{b}^{-1}\in HK$成立
先证明HK是G的非空子集。非空已证明，现在只需要证明子集即可：$\forall g\in HK$，都有$h_1\in H,k_1\in K$,使得$g=h_1{k}_1$，又因为H,K是G的子集，所以$h_1\in G,k_1\in G$,再根据群的封闭性，可知$g\in G$，故HK是G的子集得证。
下面进入正题：
$\forall a,b\in HK$,有$h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K$，使得$$a{b}^{-1}=h_1{k}_1(h_2{k}_2{)}^{-1}=h_1{k}_1{h}_2^{-1}{k}_2^{-1}=h_1{h}_2^{-1}{k}_1{k}_2^{-1}$$
第二个的等号和第三个等号都是根据交换群的性质
$h_1{h}_2^{-1}\in H,k_1{k}_2^{-1}\in K$,满足群HK的定义，故HK是G的子群。
如果G不是交换群，则无法证得。$\forall g\in HK$，$(h_1{k}_1{)}^{-1}=k_1^{-1}{h}_1^{-1}$，不满足群HK的定义，故结论不成立。