RBF网络在非线性函数回归中的应用与案例分析

RBF网络在非线性函数回归中的应用与案例分析

一、引言

在复杂的数据分析与建模任务中，处理非线性关系是一个关键挑战。径向基函数（Radial Basis Function，RBF）网络作为一种强大的神经网络模型，凭借其独特的结构和特性，在众多领域如函数逼近、模式识别、数据分类等取得了卓越的应用成果。特别是在非线性函数回归场景下，RBF网络展现出高效性与高精度，为解决实际问题提供了有力工具。本文将深入探讨RBF网络的原理，结合具体MATLAB代码实现，并通过详尽的案例分析来全面展示其应用过程与效果。

二、RBF网络原理

（一）网络结构

RBF网络属于三层前馈神经网络架构，由输入层、隐含层和输出层构成。输入层作为数据入口，负责接收外部输入信息；隐含层由一系列神经元组成，这些神经元采用径向基函数作为激活函数；输出层则将隐含层的输出进行线性组合，从而产生最终的网络输出。

（二）径向基函数

在RBF网络中，常用的径向基函数是高斯函数，其数学表达式为：
$${\phi }_i(x)=\exp \left(-\frac{{\Vert x-c_i\Vert }^2}{2{\sigma }_i^2}\right)$$
这里，$x=[x_1,x_2,\cdots ,x_d{]}^T$ 是 $d$ 维输入向量，$c_i=[c_{i1},c_{i2},\cdots ,c_{id}{]}^T$ 代表第 $i$ 个隐含层神经元的中心，${\sigma }_i$ 表示第 $i$ 个隐含层神经元的宽度，$\Vert \cdot \Vert$ 表示欧几里得范数，其计算方式为 $\Vert x-c_i\Vert =\sqrt{{\sum }_{j=1}^d(x_j-c_{ij}{)}^2}$。

从数学角度来看，高斯函数具有局部响应特性。当输入向量 $x$ 靠近中心 $c_i$ 时，${\phi }_i(x)$ 的值较大；随着 $x$ 远离 $c_i$，${\phi }_i(x)$ 迅速趋近于0。这种特性使得RBF网络能够对输入空间进行局部逼近，有效处理复杂的非线性关系。

（三）网络输出

RBF网络的输出可以通过以下公式描述：
$$y_j=\sum _{i=1}^n{w}_{ji}{\phi }_i(x)$$
其中，$y_j$ 是输出层第 $j$ 个神经元的输出，$w_{ji}$ 是隐含层第 $i$ 个神经元到输出层第 $j$ 个神经元的连接权重，$n$ 是隐含层神经元的数量。该公式表明，网络输出是隐含层神经元输出的线性组合，权重 $w_{ji}$ 决定了每个隐含层神经元对输出的贡献程度。

（四）训练过程

RBF网络的训练核心目标是确定隐含层神经元的中心 $c_i$、宽度 ${\sigma }_i$ 以及连接权重 $w_{ji}$。常见的训练方法有多种，例如：

1. 随机选取中心法：从训练数据集中随机选择一些样本点作为隐含层神经元的中心 $c_i$。确定中心后，宽度 ${\sigma }_i$ 可以通过一些经验公式计算，比如 ${\sigma }_i=\frac{d_{max}}{\sqrt{2n}}$，其中 $d_{max}$ 是所有中心之间的最大距离，$n$ 是隐含层神经元的数量。权重 $w_{ji}$ 则可以通过最小二乘法求解线性方程组 $\mathbf{Y}=\mathbf{\Phi W}$ 得到，其中 $\mathbf{Y}$ 是输出数据矩阵，$\mathbf{\Phi }$ 是隐含层输出矩阵（由径向基函数计算得出），$\mathbf{W}$ 是权重矩阵。
2. 自组织选取中心法：如K - means聚类算法，将训练数据进行聚类，每个聚类中心作为一个隐含层神经元的中心 $c_i$。聚类过程通过迭代优化目标函数 $J={\sum }_{k=1}^m{\sum }_{i=1}^n{\Vert x_k-c_i\Vert }^2\delta (v_k-i)$ 实现，其中 $m$ 是训练样本数量，$x_k$ 是第 $k$ 个样本，$\delta (v_k-i)$ 是狄拉克函数，当 $v_k=i$ 时为1，否则为0。确定中心后，宽度 ${\sigma }_i$ 可根据每个聚类中样本点到中心的平均距离等方式计算，权重 $w_{ji}$ 依然可通过最小二乘法等方法求解。

在本案例中，使用MATLAB的 newrbe 函数构建网络。该函数采用精确设计算法，其原理是基于线性方程组的求解。对于给定的输入矩阵 $\mathbf{X}=[x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(m)}{]}^T$（其中 $x^{(k)}$ 是第 $k$ 个输入样本）和输出矩阵 $\mathbf{T}=[t^{(1)},t^{(2)},\cdots ,t^{(m)}{]}^T$（$t^{(k)}$ 是对应的输出样本），构建隐含层输出矩阵 $\mathbf{\Phi }$，使得 $\mathbf{T}=\mathbf{\Phi W}$。通过求解这个线性方程组，直接确定网络的权重 $\mathbf{W}$，同时根据输入数据的分布等特性确定隐含层神经元的中心和宽度（具体计算过程在 newrbe 函数内部实现，基于一些数学优化策略）。

三、案例分析

（一）案例背景

本案例聚焦于利用RBF网络对一个复杂的非线性函数进行回归建模。通过构建并训练RBF网络，评估其对目标非线性函数的拟合能力，以验证该网络在处理此类问题上的有效性。

（二）案例实现步骤

1. 数据生成
   在MATLAB环境中，首先设定步长 interval = 0.01，用于离散化输入空间。基于此步长，生成输入数据 $x_1$ 和 $x_2$，其取值范围均为 $[-1.5,1.5]$：

interval = 0.01;
x1 = -1.5:interval:1.5;
x2 = -1.5:interval:1.5;

随后，依据给定的非线性函数计算对应的输出数据 $F$。该非线性函数表达式为：
$$F=20+x_1^2-10\cos (2\pi x_1)+x_2^2-10\cos (2\pi x_2)$$
在MATLAB中的实现代码为：

F = 20 + x_1.^2 - 10 * cos(2 * pi * x_1) + x_2.^2 - 10 * cos(2 * pi * x_2);

这里，通过对 $x_1$ 和 $x_2$ 的每个取值进行函数运算，得到对应的输出值 $F$，形成训练数据对 $([x_1;x_2],F)$。
2. 网络构建与训练
借助MATLAB的神经网络工具箱中的 newrbe 函数构建RBF网络。该函数输入为组合后的输入矩阵 $[x_1;x_2]$，输出为 $F$，并且 Spread 参数采用默认值：

net = newrbe([x_1; x_2], F);

在 newrbe 函数执行过程中，它会根据输入输出数据，运用精确设计算法确定隐含层神经元的中心、宽度以及连接权重，从而完成网络的构建与训练。
3. 网络效果验证
将原始输入数据 $[x_1;x_2]$ 再次输入到训练好的网络 net 中，通过 sim 函数获取网络的预测输出 ty：

ty = sim(net, [x_1; x_2]);

为直观展示网络对非线性函数的拟合效果，利用三维绘图函数 plot3 分别绘制原始数据点和网络预测数据点：

figure;
plot3(x_1, x_2, F, 'rd');
hold on;
plot3(x_1, x_2, ty, 'b-.');
view(113, 36);
title('可视化的方法观察准确RBF神经网络的拟合效果');
xlabel('x1');
ylabel('x2');
zlabel('F');
grid on;

上述代码中，plot3 函数将 $x_1$、$x_2$ 作为坐标轴，$F$ 和 ty 分别作为原始数据和预测数据的高度值进行绘图。hold on 确保在同一图形窗口中绘制两组数据，view 函数设置图形的观察视角，title、xlabel、ylabel 和 zlabel 分别用于添加图形标题和坐标轴标签，grid on 则打开网格线以便更好地观察数据分布。

（三）结果分析

从生成的三维图形中，可以清晰地看到红色的原始数据点和蓝色的网络预测数据点呈现出高度的重合态势。这一视觉直观效果充分表明，经过训练的RBF网络能够精准地拟合给定的复杂非线性函数。通过本案例的实践，有力地验证了RBF网络在处理非线性函数回归问题方面的卓越有效性。在实际应用场景中，若遇到类似的非线性关系建模任务，RBF网络可作为一种可靠的解决方案。同时，可进一步探索不同的训练方法、网络参数设置以及隐含层神经元数量对网络性能的影响，以实现更优的模型效果。

四、参考文献

[1] Haykin, S. Neural Networks and Learning Machines. Pearson Prentice Hall, 2009.
[2] 史忠植. 神经网络. 机械工业出版社, 2016.
[3] Bishop, C. M. Neural Networks for Pattern Recognition. Oxford University Press, 1995.